Plancksches Wirkungsquantum

Gedenktafel – Humboldt-Universität zu Berlin

Das Plancksche Wirkungsquantum $ h $ ist das Verhältnis von Energie ($ E $) und Frequenz ($ f $) eines Photons oder eines Teilchens, entsprechend der Formel $ E=h\cdot f $.

Es ist das Fundament der Quantentheorie und verknüpft seit seiner Entdeckung durch Max Planck in den Jahren 1899^[1] und 1900^[2][3] Eigenschaften, die in der klassischen Physik entweder nur Teilchen oder nur Wellen zugeschrieben wurden. Damit ist es die Basis des Welle-Teilchen-Dualismus der modernen Physik.

Planck entdeckte, dass die Wirkung eines physikalischen Vorgangs, d. h. das Produkt aus umgesetzter Energie und Zeit, nur diskrete Werte annehmen kann, nämlich ganzzahlige Vielfache von $ h $, daher Wirkungsquantum.

Das Wirkungsquant ist neben der Gravitationskonstante $ G $ und der Lichtgeschwindigkeit $ c $ eine der drei fundamentalen Naturkonstanten der Physik und Grundlage des primordialen (primordial=„von erster Ordnung“) natürlichen Einheitensystems, der Planck-Einheiten.^[4]

Definition

Das Plancksche Wirkungsquantum $ \,h $ ist für jedes physikalische System, das harmonisch schwingen kann, das konstante Verhältnis des kleinstmöglichen Energieumsatzes zur Schwingungsfrequenz. In der Quantenmechanik gilt dies für jedes physikalische System in Bezug auf seinen gesamten Energieinhalt und die Frequenz seiner quantenmechanischen Phase.

Das Plancksche Wirkungsquantum hat die Dimension von Energie mal Zeit, die Wirkung genannt wird. Es erhält seine universelle Bedeutung durch sein Auftreten in den Grundgleichungen der Quantentheorie (Schrödinger-Gleichung, Heisenbergsche Bewegungsgleichung, Dirac-Gleichung). Einige allgemeingültige Folgen:

• Jede harmonische Schwingung (mit Frequenz $ f $, Kreisfrequenz $ \omega =2\pi f $) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des Schwingungsquants $ \Delta E=hf\equiv \hbar \omega $ sind.
• Jedes physikalische System kann seinen Drehimpuls(*) $ J $ nur um ganzzahlige Vielfache von $ \hbar \equiv {\tfrac {h}{2\pi }} $ ändern.

(*) Genauer: die Projektion des Drehimpulsvektors $ {\vec {J}} $ auf eine beliebige Gerade

• Jedem physikalischen System mit Impuls $ p $ ist eine Materiewelle mit der Wellenlänge $ \lambda ={\tfrac {h}{p}} $ zugeordnet.
• Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie $ E $ und Kreisfrequenz $ \omega $ seiner quantenmechanischen Phase die Gleichung $ \,E=\hbar \omega $.
• Je zwei Variablen eines physikalischen Systems, die zueinander kanonisch konjugiert sind (z. B. Ort $ x $ und Impuls $ p $ eines Teilchens, oder verallgemeinerter Ort und verallgemeinerter Impuls, z. B. Drehwinkel und Drehimpuls), erfüllen eine Unschärferelation, der zufolge sie in keinem Zustand des Systems beide gleichzeitig wohldefinierte Werte besitzen können. Vielmehr gilt für die Streuungen $ \sigma _{x},\,\sigma _{p} $ der Werte beider Variablen: $ \sigma _{x}\cdot \sigma _{p}\geq {\tfrac {\hbar }{2}} $.

Werte

Der Wert von $ h $ beträgt^[5][6]

$ {\begin{aligned}h&=6{,}626\,069\,57(29)\cdot 10^{-34}\,{\rm {J\,s}}\\&=4{,}135\,667\,516(91)\cdot 10^{-15}\,{\rm {eVs}}\end{aligned}} $

wobei die eingeklammerten Zahlen die geschätzte Unsicherheit (1 Standardabweichung) für den Mittelwert angeben und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern beziehen.

Häufig wird statt $ h $ auch das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $ \hbar $ (sprich „h quer”)^[8][9]

$ {\begin{aligned}\hbar &={\frac {h}{2\pi }}\\&=1{,}054\,571\,726(47)\cdot 10^{-34}\,{\rm {J\,s}}\\&=6{,}582\,119\,28(15)\cdot 10^{-16}\,{\rm {eVs}}\end{aligned}} $

verwendet, wobei $ \pi $ die Kreiszahl (Pi) ist. $ \hbar $ wurde in der Vergangenheit gelegentlich auch nach Paul Dirac als „Diracsche Konstante“ bezeichnet.^[10]

Oft wird das Produkt $ \hbar c $ mit der Lichtgeschwindigkeit c benötigt, das die Dimension Energie mal Länge hat und damit einen universellen Zusammenhang zwischen Energieinhalt und Längenskala begründet. In den in der Kernphysik üblichen Einheiten gilt:^[11]

$ \hbar c=197{,}326\,9718(44)\,\,{\rm {MeVfm}} $

In Unicode liegen die Symbole für das Plancksche Wirkungsquantum und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum auf Position U+210E (ℎ) bzw. U+210F (ℏ).

Historisches zur Entdeckung und Rezeption^[12]

Wärmestrahlung I (Planck 1899)

Max Planck war 1899 auf eine neue Naturkonstante gestoßen, als er eine thermodynamische Beschreibung der Wärmestrahlung schwarzer Körper, auch Hohlraumstrahlung genannt, entwickelte. Als herausragendes ungelöstes Problem der theoretischen Physik galt damals die Form des abgestrahlten Spektrums und seine Veränderung bei Temperaturerhöhung, sichtbar etwa beim Übergang von Rotglut zu Weißglut. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz sollten das Spektrum und seine Temperaturabhängigkeit für alle schwarzen Körper, völlig unabhängig von ihrer sonstigen Beschaffenheit, exakt gleich sein.

Im kurzwelligen Bereich zeigten die Messwerte eine charakteristische Abnahme zu höheren Frequenzen hin, die in dem von Wilhelm Wien gefundenen Wienschen Strahlungsgesetz gut durch einen Exponentialfaktor $ e^{-{\tfrac {af}{T}}} $ wiedergegeben werden ($ f $ Frequenz, $ T $ Temperatur, $ a $ ein fester Parameter). Planck konnte diese Formel theoretisch begründen.^[13] Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den elektromagnetischen Wellen im Innern eines Hohlraums und den als Modell angenommenen emittierenden und absorbierenden Oszillatoren in seinen Wänden. Er stützte sich auf den Entropiebegriff und wählte für die Entropie eines Oszillators einen geeigneten Ansatz mit zwei Parametern $ a $ und $ b $, denen aufgrund dieser allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zukam. $ a $ erwies sich als der Parameter im Wienschen Strahlungsgesetz, $ b $ als Produkt von $ a $ mit der Boltzmann-Konstante $ k_{B} $. Planck gab seinen Wert mit $ b=6{,}885\cdot 10^{-27}\,\mathrm {erg\,s} $ an, nur 4 % über dem heutigen Wert für $ h $. Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von universellen Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die Planck-Einheiten.

Wärmestrahlung II (Planck 1900)

Neue Messungen im langwelligen (infraroten) Teil der Wärmestrahlung widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz, damit auch seiner von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten eine zunehmende Intensität zu größeren Frequenzen, die sich gut durch das Rayleigh-Jeans-Gesetz wiedergeben ließ, das zudem den Vorzug hatte, dass es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem Gleichverteilungssatz der Statistischen Mechanik abgeleitet werden konnte. Allerdings sagte dieses Gesetz eine mit steigender Frequenz unbegrenzte Zunahme der Intensität voraus, was der Realität widerspricht und als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wird. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als Plancksches Strahlungsgesetz bezeichnete Ergebnis nur, indem er versuchsweise den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor $ e^{-{\tfrac {\Delta E}{k_{B}T}}} $ interpretierte und darin für $ \Delta E $ die je nach Frequenz $ f $ verschiedenen diskreten Energiestufen $ \Delta E=hf $ ansetzte. Den Buchstaben $ h $ nahm er von Hilfsgröße. Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei $ h $ gerade um das erwähnte Produkt :$ b=ak_{B} $ handelt.^[14]

Die Vorstellung, dass es eine Quantelung scheinbar kontinuierlicher Größen geben könne, war der Physik damals, als auch die Atomhypothese noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd. Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der Nobelpreis zuerkannt.

h und die Lichtquanten

Albert Einstein, einer der wenigen Physiker, der die fundamentale Bedeutung von Plancks Arbeit früh akzeptierte, analysierte 1905 den mit der klassischen Physik unvereinbaren photoelektrischen Effekt und konnte ihn mithilfe der Lichtquantenhypothese erklären, der zufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht, im Gegensatz zu Plancks Ansicht, die elektromagnetische Strahlung selbst aus teilchenartigen Objekten, den Lichtquanten, deren Energie je nach Frequenz $ \!\ f $ der Lichtwelle durch die Gleichung $ \!\ E=hf $ gegeben ist.^[15] Später wurde sie die Einsteinsche Gleichung für das Lichtquant genannt. Damit führte er als neues Problem den Welle-Teilchen-Dualismus in die Physik ein. Nicht zuletzt deshalb brauchte auch diese Analyse Jahre, um sich durchzusetzen. 1921 brachte sie Einstein den Nobelpreis ein.

h und die spezifische Wärme fester Körper

Die Quantisierung der Schwingungsenergie war für Albert Einstein 1907 auch der Schlüssel zur Erklärung eines weiteren unverstandenen Phänomens, der Abnahme der spezifischen Wärme fester Körper zu niedrigen Temperaturen hin. Bei höheren Temperaturen stimmten die Messwerte meist gut mit dem von Dulong-Petit nach der klassischen Physik vorhergesagten Wert überein. Einstein nahm an, dass die Wärmeenergie im festen Körper in Form von Schwingungen der Atome um ihre Ruhelage vorliegt, und dass auch diese rein mechanische Art von Schwingungen nur in Energiestufen $ \!\Delta E=hf $ angeregt werden können. Da die im thermischen Gleichgewicht zwischen den einzelnen Atomen fluktuierenden Energiemengen von der Größenordnung $ \,k_{B}T $ sind, ergab sich die Möglichkeit, zwischen „hohen“ Temperaturen ($ k_{B}T>hf $) und „tiefen“ Temperaturen ($ k_{B}T<hf $) zu unterscheiden. Dann hat die Quantelung bei hohen Temperaturen keine sichtbaren Auswirkungen, während sie bei tiefen Temperaturen die Aufnahme von Wärmeenergie behindert. Die Formel, die Einstein aus dieser Vorstellung heraus ableiten konnte, passte (nach geeigneter Festlegung von $ \,f $) ausgezeichnet zu den damaligen gemessenen Daten. Trotzdem wurde lange weiter bezweifelt, dass die Plancksche Konstante im Bereich der Mechanik wichtig sein könnte.

h und die Phasenraumzelle

Viele Gesetze der Thermodynamik, z. B. zur spezifischen Wärme von Gasen und Festkörpern, aber auch zum irreversiblen Anwachsen der Entropie und zur Form des dadurch erreichten Gleichgewichtszustands, hatten durch die Statistische Mechanik (vor allem durch Ludwig Boltzmann und Josiah Willard Gibbs) eine mechanische Deutung erfahren. Sie gründet in der Annahme der ungeordneten Bewegung extrem vieler Atome bzw. Moleküle und ermittelt mit statistischen Methoden die wahrscheinlichsten Werte von makroskopisch messbaren Größen (wie Dichte, Druck usw.), um den Gleichgewichtszustand zu charakterisieren. Dazu muss zunächst die Gesamtmenge aller möglichen Zustände aller Teilchen mathematisch erfasst werden in einem Zustands- oder Phasenraum. Legt man einen bestimmten makroskopischen Zustand fest, dann bilden alle Teilchenzustände, in denen das System diesen makroskopischen Zustand zeigt, im Phasenraum ein Teilvolumen. Aus der Größe jedes solchen Teilvolumens wird ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der betreffende makroskopische Zustand vorkommen wird. Mathematisch ist also ein Volumenintegral zu bilden, und dazu braucht man vorübergehend und als Hilfsgröße die Definition eines Volumenelements, auch Phasenraumzelle genannt. Im Endergebnis aber soll die Phasenraumzelle nicht mehr auftauchen. Wenn möglich, lässt man ihre Größe in der erhaltenen Formel gegen Null schrumpfen (wie differentielle Größen generell in der Infinitesimalrechnung), wenn nicht, sieht man sie als unerwünschten Parameter an (der z. B. eine unbekannte additive Konstante bestimmt) und versucht, nur solche Schlussfolgerungen zu betrachten, die von der Phasenraumzelle unabhängig sind (z. B. Differenzen, in denen sich die Konstante weghebt). Berechnet man auf diese Weise die Entropie eines Gases, heißt die Konstante chemische Konstante. Otto Sackur bemerkte 1913 zu seiner Überraschung, dass man der Phasenraumzelle eine bestimmte Größe geben muss, damit die chemische Konstante mit den Messwerten übereinstimmt. Die Phasenraumzelle (pro Teilchen und pro Raumdimension seiner Bewegung) muss gerade die Größe $ h $ haben. Seiner Veröffentlichung^[16] gab er den Titel „Die universelle Bedeutung des sog. Planckschen Wirkungsquantums“, und Max Planck nannte es von „fundamentaler Bedeutung“, wenn sich die gewagte Hypothese bewahrheiten würde, dass dies Ergebnis unabhängig von der Art des Gases gilt.^[17] Dies war der Fall.

Fundamental an diesem Ergebnis ist insbesondere, dass sich hier ein tiefer Grund für das Phänomen der Quantisierung zu zeigen beginnt, der in vollem Umfang allerdings erst Jahre später mit der Quantenstatistik der Strahlung klar wurde. Die gleiche Größe der Phasenraumzelle pro Zustand kann man nämlich aus der Einsteinschen Formel $ \!\ E=hf $ für das Lichtquant herauslesen. Die für die Größe der Phasenraumzelle maßgebliche physikalische Größe ist hier die Wirkung, bei einer Schwingung (wie die elektromagnetische Welle) ist die Wirkung das Produkt aus Energie und Periode: $ \!\ E\cdot {\tfrac {1}{f}}=h $.

h und die Größe der Atome

Die klassische Physik muss bei der Erklärung der stabilen Größe der Atome versagen. Denn wenn sie eine bestimmte Größe erklären könnte, wäre ein z. B. halb so großes Atom dann nach denselben Gesetzen genau so gut möglich. Anders ausgedrückt: Die Grundformeln der klassischen Physik enthalten nicht genügend Naturkonstanten, als dass man aus ihnen eine Formel für eine bestimmte Länge gewinnen könnte. Das Wirkungsquantum kann diese Lücke schließen, wie schon Planck selber 1899 bemerkte, als er erstmals die Planckschen Einheiten vorstellte (s. o.). Doch weil das Wirkungsquantum nach überwiegender Meinung nicht in die Mechanik eingeführt werden sollte, kam der erste Versuch, es zur Erklärung des Atomradius zu nutzen, erst 1910 zustande und wurde dann sogar z. T. lächerlich gemacht.^[18] Dabei nahm Arthur Erich Haas an, ein Elektron kreise im Feld einer positiven Ladung $ +e $, und setzte die Umlauffrequenz $ f $ und die Bindungsenergie $ E $ dieses Systems ins Verhältnis $ E=hf $. Daraus ergibt sich ein Radius im Bereich der aus der Chemie und der kinetischen Gastheorie bekannten Atomradien.

Mehr Erfolg hatte 1913 Niels Bohr, der in seinem Atommodell vom gleichen Bild ausging, aber auch Kreisbahnen verschiedener Energie und, vor allem, die Emission von Lichtquanten beim Quantensprung von einer zur anderen Bahn einführte. Die Übereinstimmung mit den gemessenen Wellenlängen, die er allerdings nur durch eine kaum zu begründende Quantenbedingung ($ E={\tfrac {n}{2}}hf $ mit der neuen Hauptquantenzahl $ n=1,\,2,\,3\,\dots $) erhielt, machte das Modell schnell berühmt. Die tragende Rolle des Wirkungsquantums beim inneren Aufbau der Atome war bewiesen. Die Quantenbedingung wurde schnell als Drehimpulsquantelung erkannt, denn die Kreisbahn zur Hauptquantenzahl $ n $ kann durch die Bedingung definiert werden, dass der Drehimpuls des Elektrons den Wert $ L=nh/2\pi $ hat.

Dieser große Fortschritt machte das Bohrsche Atommodell zum maßgeblichen Ausgangspunkt der weiteren Entwicklungen, obwohl ähnlich große Fortschritte dann jahrelang ausblieben. Insbesondere schlugen die Versuche fehl, Atome mit mehreren Elektronen zu verstehen.

h und die Materiewellen

Der Erfolg des Bohrschen Atommodells seit 1913 verdankte sich zum guten Teil der Quantenbedingung, die von außen hart in die Mechanik eingreift, indem sie dem Elektron nur wenige der mechanisch möglichen Bahnen erlaubt. Aufgrund der anhaltenden Schwierigkeiten mit der weiteren Entwicklung der Atomtheorie wurde nach Möglichkeiten gesucht, die Mechanik selber so umzugestalten, dass sie die Quantenbedingung von vornherein berücksichtigt. Es sollte die bisherige Quantentheorie von einer regelrechten Quantenmechanik abgelöst werden. Den größten Schritt vor dem wirklichen Beginn der Quantenmechanik leistete Louis de Broglie 1924, indem er auch materiellen Teilchen, z. B. Elektronen, Welleneigenschaften zuschrieb. Er übertrug die für Photonen gefundene Beziehung $ \,p=h/\lambda $ zwischen Impuls $ {\vec {p}} $ und Wellenlänge $ \,\lambda $ auf die von ihm gedachte Materiewelle des Elektrons. Damit dehnte er den Welle-Teilchen-Dualismus auf Teilchen aus. Als unmittelbarer Erfolg zeigt sich, dass die Bohrsche Kreisbahn zur Hauptquantenzahl n gerade den Umfang $ \,n\lambda $ hat, mithin die Materiewelle des Elektrons eine stehende Welle darauf ausbilden kann. Ohne über diese Materiewelle viel sagen zu können, fand Erwin Schrödinger Anfang 1926 eine Formel für die Ausbreitung dieser Welle in einem Kraftfeld, mit der er die Wellenmechanik begründete.^[19] Für die stationären Zustände des Wasserstoffatoms konnte er mit dieser Schrödingergleichung ohne zusätzliche Quantenbedingung genau die bekannten Ergebnisse berechnen. Zusätzlich wurden bekannte Fehler des Bohrschen Modells behoben, z. B. dass das Atom flach sei oder dass der Drehimpuls nicht $ L=0\hbar $ sein könne. Als einzige Naturkonstante tritt in der Schrödingergleichung das Wirkungsquantum $ \,h $ auf. Gleiches gilt für die Gleichung, die Werner Heisenberg einige Monate zuvor aus einer „quantentheoretischen Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ gewann,^[20] womit er die Matrizenmechanik begründete. Beide Ansätze sind mathematisch äquivalent und werden als Grundgleichungen der eigentlichen Quantenmechanik angesehen. Weiterhin geblieben sind allerdings die Schwierigkeiten, sich ein mit dem Welle-Teilchen-Dualismus verträgliches Bild von den quantenmechanischen Begriffen und Vorgängen zu machen.

Drehimpuls

Plancks Motivation für die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war zunächst alleine die physikalische Dimension Energie mal Zeit der Konstante. Der klassische mechanische Bahndrehimpuls $ {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}} $ hat die gleiche Dimension. In dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell des Wasserstoffatoms trat der Bahndrehimpuls des Elektrons als gequantelte Größe in Erscheinung. Er kann dem Betrag nach nur ganzzahlige Vielfache von $ \hbar $ annehmen: $ |{\vec {l}}|=l\hbar $ mit der Drehimpulsquantenzahl $ \,l $. Im Bohrschen Modell kann sie für die Bahnen zur Hauptquantenzahl $ \,n $ alle Werte $ \,l=\,1,\;2,\,...,n $ haben.

In der Quantenmechanik erfüllt der zu $ {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}} $ gehörende Operator $ {\hat {\vec {l}}}={\hat {\vec {r}}}\times {\hat {\vec {p}}} $ des Bahndrehimpulses die drei Vertauschungsrelationen

$ [{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{y}]=i\hbar {\hat {l}}_{z}\qquad $ (auch für x,y,z, zyklisch vertauscht).

Außerdem gilt (wie in der klassischen Mechanik) für das Skalarprodukt $ ({\hat {\vec {l}}}\cdot {\hat {\vec {p}}})=0 $ (Nulloperator). Daraus ergibt sich allgemein:

• Die Quantenzahl des Bahndrehimpulses ist eine nicht-negative ganze Zahl: $ \,l=0,\,1,\;2,\,... $. Der Betrag des Drehimpulses $ {\vec {l}} $ ist ein wenig größer als $ l\hbar $:

$ |{\vec {l}}|={\sqrt {l(l+1)}}\;\hbar $

• Die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse kann jedes ganzzahliges Vielfache $ m\hbar $ des Planckschen Wirkungsquantums annehmen, wobei diese magnetische Quantenzahl $ \,m $ dem Betrag nach durch $ \,l $ beschränkt ist. Es gibt daher $ \,(2l+1) $ verschiedene Werte $ \,m=-l,-l+1,\ldots ,l $, eine stets ungerade Anzahl.

Nach quantenmechanischer Berechnung kann im Wasserstoffatom zu der Hauptquantenzahl $ \,n $ die Bahndrehimpulsquantenzahl $ \,l $ die ganzzahligen Werte $ \,l=\,0,\;1,\,...,(n-1) $ annehmen, was mit allen Beobachtungen übereinstimmt.

Auch für den Spin (Eigendrehimpuls eines Teilchens um seinem eigenen Schwerpunkt, oft mit $ {\vec {s}} $ bezeichnet) ist $ \hbar $ maßgeblich. Allerdings ist er in Einheiten $ {\tfrac {1}{2}}\hbar $ gequantelt. Der zugehörige Operator $ {\hat {\vec {s}}} $ erfüllt dieselben Vertauschungsrelationen wie $ {\hat {\vec {l}}} $, aber $ ({\hat {\vec {s}}}\cdot {\hat {\vec {p}}}) $ ist nicht mehr der Nulloperator. Es folgt, dass die Spinquantenzahl $ \,s $ auch halbzahlig sein kann. Für die magnetische Quantenzahl $ \,m_{s} $ sind wieder die Werte $ \,m_{s}=-s,-(s-1),\ldots ,+s $ möglich, bei halbzahligem Spin also eine gerade Anzahl. Je nachdem, ob der Spin ganz- oder halbzahlig ist, unterscheidet man in der Physik die beiden grundlegenden Teilchenarten der Bosonen bzw. Fermionen.

Unschärferelation

In der Heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt das (reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum als Wert des Kommutators zwischen Orts- und Impulsoperator auf:

$ \left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]\;=\;\mathrm {i} \hbar $

Als Folge gilt für das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe die Heisenbergsche Unschärferelation

$ \Delta x\,\Delta p\;\geq \;{\frac {\hbar }{2}}\;. $

Von-Klitzing-Konstante

Die Von-Klitzing-Konstante ist die Größe $ {\tfrac {h}{e^{2}}} $, die beim Quanten-Hall-Effekt auftritt. Sie hat die von elektrischen Widerständen bekannte Einheit Ohm, ihr Wert ist $ R_{K}=25812{,}8074434(84)\Omega $.^[21] Diese Konstante kann extrem genau gemessen werden. Sie könnte analog zur modernen Festlegung der Lichtgeschwindigkeit dazu dienen, die Bestimmung der Planckschen Konstanten $ h $ auf sehr genaue Widerstandsmessungen zurückzuführen.

Literatur

• Domenico Giulini: „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie. online. In: Herbert Hunziker, Der jugendliche Einstein und Aarau, Birkhäuser 2005, ISBN 3-7643-7444-6.
• Enrico G. Beltrametti: One Hundred Years of h. Italian Physical Soc., Bologna 2002, ISBN 88-7438-003-8.

Weblinks

 Wiktionary: Wirkungsquantum – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST
• Wie Max Planck auf die Idee der Quantentheorie kam – von Armin Hermann
• Was ist das Wirkungsquantum? - von Jörg Resag
• Dioden-Versuch Einfaches Experiment zur Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums auf Schülerniveau
• Dioden-Beleuchtungsversuch Ermittlung des Planckschen Wirkungsquantums durch Beleuchtung verschiedenfarbiger Leuchtdioden

Einzelnachweise