Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.
Der physikalische Zustand $ \Psi \, $ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $ |\Psi \rangle $ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $, so dass
- $ E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}|\Psi \rangle \ ,\quad j=1,2,3 $
der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $ \,\Psi $ ist.
Definition und Eigenschaften
- Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $ {\hat {x}}_{j} $, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $ {\hat {p}}_{k} $ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,
- $ [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,. $
- Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $ \mathbb {R} ^{3} $ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
- Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums $ \mathbb {R} ^{3} $, jeder Zustand $ \Psi $ ist durch eine Ortswellenfunktion $ \psi (\mathbf {x} ) $ gegeben. Die Ortsoperatoren $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator $ {\hat {x}}_{j} $ wirkt auf Ortswellenfunktionen $ \psi (x) $ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $ x_{j} $
- $ ({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,. $
Der Erwartungswert ist
- $ E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}|\Psi \rangle =\int {\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} ^{3}x\,. $
Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator
- $ {\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )\,. $
- In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $ {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ) $
- $ ({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\,{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ) $
und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator
- $ ({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )\,. $
