Ortsoperator


Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $ \Psi\, $ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $ |\Psi \rangle $ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $ \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) $, so dass

$ E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle\ ,\quad j=1,2,3 $

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $ \,\Psi $ ist.

Definition und Eigenschaften

  • Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $ \hat{x}_j $, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $ \hat{p}_k $ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,
$ [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad [\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,. $
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $ \mathbb{R}^3 $ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
  • Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums $ \mathbb{R}^3 $, jeder Zustand $ \Psi $ ist durch eine Ortswellenfunktion $ \psi(\mathbf{x}) $ gegeben. Die Ortsoperatoren $ \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) $ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator $ \hat{x}_j $ wirkt auf Ortswellenfunktionen $ \psi(x) $ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $ x_j $
$ (\hat{x}_j\, \psi)(\mathbf{x})= x_j\, \psi(\mathbf{x})\,. $

Der Erwartungswert ist

$ E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle= \int \overline{\psi(\mathbf{x})}\,x_j\, \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x\,. $

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

$ \bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)=-\mathrm i\, \hbar\,\bigl(\frac{\partial}{\partial x_k} \psi \bigr)(\mathbf x)\,. $
  • In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $ \tilde{\psi}(\mathbf{p}) $
$ (\hat{p}_k\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=p_k\,\tilde{\psi}(\mathbf{p}) $

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

$ (\hat{x}_j\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=\mathrm i\, \hbar\,\frac{\partial} {\partial p_j}\tilde{\psi}(\mathbf{p})\,. $