Matrizenmechanik
- Seiten mit Math-Fehlern
- Seiten mit Math-Renderingfehlern
- Quantenmechanik
Die Matrizenmechanik ist eine durch die deutschen Physiker Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan entwickelte Formulierung der Quantenmechanik. Sie bildet das Gegenstück zu der durch Erwin Schrödinger geprägten Wellenmechanik.
1925 erarbeitete Heisenberg eine Abhandlung Über die quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, um Ungereimtheiten der Quantentheorie auf dem Wege zu einer nichtklassischen Atomtheorie zu klären, und schuf damit eine Grundlage einer streng gültigen Quantenmechanik. Ausgangsthese war, dass in der Mikrophysik nicht nach Bahnen oder Umlaufzeiten der Elektronen im Atom geforscht werden müsse, sondern nach messbaren Differenzen der Strahlungsfrequenzen und Spektrallinienintensitäten, um allein darauf „eine der klassischen Mechanik analoge quantentheoretische Mechanik auszubilden, in welcher nur Beziehungen zwischen beobachtbaren Größen vorkommen (Q4-66)“.
Ausgearbeitet wurde die Matrizenmechanik dann gemeinsam von Max Born, Werner Heisenberg und Pascual Jordan in einer Veröffentlichung für die Zeitschrift für Physik 1926, der sogenannten "Dreimännerarbeit". In dieser Betrachtungsweise der Quantenmechanik ändert sich der Zustandsvektor eines Systems nicht mit der Zeit. Stattdessen wird die Dynamik des Systems nur durch die Zeitabhängigkeit der Operatoren („Matrizen“) beschrieben (siehe Heisenberg-Bild).
In gewisser Weise bietet die Matrizenmechanik eine natürlichere und fundamentalere Beschreibung eines quantenmechanischen Systems als das wellenmechanische Schrödinger-Bild, besonders für relativistische Theorien, da sie die Lorentz-Invarianz mit sich bringt. Sie weist zudem eine starke formale Ähnlichkeit zur klassischen Mechanik auf, weil die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen den klassischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ähneln.
Die physikalischen Voraussagen betreffend sind die schrödingersche und die heisenbergsche Mechanik gleichwertig. Diese Äquivalenz wurde zuerst von Schrödinger, dann auch von Pauli, Eckhart, Dirac, Jordan sowie durch von Neumann auf unterschiedliche Art nachgewiesen.[1]
Allgemeine Matrixdarstellung der Quantenmechanik
Im Folgenden soll aus einem abstrakten Hilbertraumvektor und einem Operator auf diesem Hilbertraum deren Vektor- bzw. Matrixdarstellung abgeleitet werden.
Zuerst wähle man im das System beschreibenden Hilbertraum eine Basis (vollständiges Orthonormalensystem) $ \left\{|n\rangle \right\} $, wobei die Dimension des Hilbertraums abzählbar sei.
Bei folgendem Skalarprodukt $ \langle \phi |{\hat {A}}|\psi \rangle $ schiebt man zweimal eine 1 durch Ausnutzen der Vollständigkeit der Basis $ 1=\sum _{m}|m\rangle \langle m| $ und $ 1=\sum _{n}|n\rangle \langle n| $ ein:
- $ \langle \phi |{\hat {A}}|\psi \rangle =\sum _{m,n}\underbrace {\langle \phi |m\rangle } _{\phi _{m}}\underbrace {\langle m|{\hat {A}}|n\rangle } _{A_{mn}}\underbrace {\langle n|\psi \rangle } _{\psi _{n}} $
Durch die Projektionen auf die Basisvektoren erhält man die Koordinatendarstellung mit Vektoren und Matrizen bzgl. $ \left\{|n\rangle \right\} $:
- Bra-Zeilenvektor: $ \phi _{m}=\langle \phi |m\rangle =\langle m|\phi \rangle ^{*} $ (lässt sich auch als komplex-konjugierter, transponierter Spaltenvektor schreiben)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\langle\phi|\right)_{\left\{ |n\rangle\right\} }=\left(\langle\phi|1\rangle,\,\langle\phi|2\rangle,\,\langle\phi|3\rangle,\,\ldots\right)=\left(\begin{array}{c} \langle1|\phi\rangle^{*}\\ \langle2|\phi\rangle^{*}\\ \vdots\end{array}\right)^{t}
- Operator-Matrix: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{mn}=\langle m|\hat{A}|n\rangle
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\hat{A}\right)_{\left\{ |n\rangle\right\} }=\left(\begin{array}{ccc} \langle1|\hat{A}|1\rangle & \langle1|\hat{A}|2\rangle & \cdots\\ \langle2|\hat{A}|1\rangle & \langle2|\hat{A}|2\rangle\\ \vdots & & \ddots\end{array}\right)
- Ket-Spaltenvektor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{n}=\langle n|\psi\rangle
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(|\psi\rangle\right)_{\left\{ |n\rangle\right\} }=\left(\begin{array}{c} \langle1|\psi\rangle\\ \langle2|\psi\rangle\\ \vdots\end{array}\right)
Einer Adjunktion entspricht in der Matrixdarstellung eine komplexe Konjugation und eine zusätzlich Transposition: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{mn}^{\dagger}=A_{nm}^{*}
- $ \left({\hat {A}}^{\dagger }\right)_{\left\{|n\rangle \right\}}=\left({\hat {A}}^{*t}\right)_{\left\{|n\rangle \right\}} $
Sind die Basisvektoren $ |n\rangle $ Eigenvektoren eines Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{O} , also $ {\hat {O}}|n\rangle =o_{n}|n\rangle $, so ist die Matrixdarstellung des Operators bzgl. dieser Basis diagonal:
- $ O_{mn}=\langle m|{\hat {O}}|n\rangle =o_{n}\langle m|n\rangle =o_{n}\delta _{mn} $
Matrixdarstellung des Heisenbergbildes
Heisenbergsche Bewegungsgleichung
Im Heisenberg-Bild sind die Zustände zeitunabhängig und die Operatoren zeitabhängig. Die Zeitabhängigkeit eines Operators ist gegeben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:
- $ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A^{\rm {H}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left[H^{H},A^{H}\right]+{\frac {\partial }{\partial t}}A^{H}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left(H^{H}A^{H}-A^{H}H^{H}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}A^{H} $
In der Matrixdarstellung bzgl. einer beliebigen Basis heißt das, dass die Vektoren zeitunabhängig und die Matrizen zeitabhängig sind. Ab sofort wird die Summenkonvention verwendet.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm nm}}^{H}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(H_{nk}^{H}A_{km}^{H}-A_{nk}^{H}H_{km}^{H}\right)+\frac{\partial}{\partial t}A_{{\rm nm}}^{H}
Bezüglich der Energieeigenbasis vereinfacht sich die Darstellung, weil der Hamiltonoperator diagonal ist (der Hamiltonoperator sei explizit zeitunabhängig $ {\tfrac {\partial }{\partial t}}H=0 $):
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm nm}}^{H}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(E_{n}\delta_{nk}A_{km}^{H}-A_{nk}^{H}\delta_{km}E_{m}\right)+\frac{\partial}{\partial t}A_{{\rm nm}}^{H}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(E_{n}-E_{m}\right)A_{nm}^{H}+\frac{\partial}{\partial t}A_{{\rm nm}}^{H}
Lösung der Gleichung für Spezialfälle
Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A nicht explizit zeitabhängig ist ($ {\tfrac {\partial }{\partial t}}A^{H}=0 $), ist die zeitliche Entwicklung gegeben durch
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{A}^{H}(t)=\hat{U}(t)^{\dagger}\hat{A}^{H}(0)\hat{U}(t).
Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U}(t) der Zeitentwicklungsoperator und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U}(t)^{\dagger} der adjungierte Zeitentwicklungsoperator.
Ist zusätzlich der Hamiltonoperator nicht explizit zeitabhängig ($ {\tfrac {\partial }{\partial t}}H=0 $), so nimmt der Zeitentwicklungsoperator die einfache Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U(t)=\exp\left(-\tfrac{i}{\hbar}H\, t\right) an:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{A}^{H}(t)=\exp\left(\tfrac{i}{\hbar}H\, t\right)\hat{A}^{H}(0)\,\exp\left(-\tfrac{i}{\hbar}H\, t\right)
In Matrixdarstellung bzgl. beliebiger Basis (die Exponentialfunktion von Matrizen ist ebenso wie die Exponentialfunktion von Operatoren mittels Reihendarstellung auszuwerten):
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{{\rm nm}}^{H}(t)=\exp\left(\tfrac{i}{\hbar}H\, t\right)_{nk}\, A_{kl}^{H}(0)\,\exp\left(-\tfrac{i}{\hbar}H\, t\right)_{lm}
bzgl. Energieeigenbasis wird die Zeitentwicklung wieder einfacher:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{{\rm nm}}^{H}(t)=\exp\left(\tfrac{i}{\hbar}E_{n}\, t\right)\delta_{nk}\, A_{kl}^{H}(0)\,\delta_{lm}\exp\left(-\tfrac{i}{\hbar}E_{m}\, t\right)=\exp\left(\tfrac{i}{\hbar}\left(E_{n}-E_{m}\right)t\right)A_{nm}^{H}(0)
Durch Einsetzen überprüft man, dass diese Gleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung $ {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\rm {nm}}^{H}={\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)A_{nm}^{H} $ löst.
Einzelnachweise
- ↑ John Gribbin: Auf der Suche nach Schrödingers Katze, Quantenphysik und Wirklichkeit - aus dem Englischen von Friedrich Griese ; wissenschaftliche Beratung für die deutsche Ausgabe: Helmut Rechenberg. - 2. Aufl., 6.-8. Tausend - Piper, München 1987 - S. 129
Weblinks
- Rekonstruktion der mathematischen Herleitung
- Biographie Max Borns auf wissenschaft-online.de