Einstein-Smoluchowski-Beziehung

Dieser Artikel erläutert die Einstein-Smoluchowski-Beziehung in der kinetischen Gastheorie. Für weitere Bedeutungen – siehe Einstein-Gleichung.

Im Bereich der kinetischen Gastheorie ist die Einstein-Smoluchowski-Beziehung, auch Einstein-Gleichung genannt, eine Beziehung, die zuerst Albert Einstein (1905) und danach Marian Smoluchowski (1906) in ihren Schriften zur Brownschen Bewegung aufdeckten:

$ D = \mu k_\mathrm{B} T $.

Die Gleichung verknüpft D, den Diffusionskoeffizienten, und μ, die Beweglichkeit der Teilchen. $ k_\mathrm{B} $ bezeichnet die Boltzmannkonstante und T die Absolute Temperatur.

Es handelt sich um ein frühes Beispiel für eine Fluktuations-Dissipations-Beziehung.

Diffusion von Teilchen

In Bereichen mit niedriger Reynolds-Zahl ist die Beweglichkeit μ der Kehrwert des Strömungskoeffizienten γ. Für kugelförmige Teilchen mit Radius r liefert die Stokessche Gleichung

$ \gamma = 6 \pi \, \eta \, r, $

wobei η die Viskosität des Mediums bezeichnet. Die Einstein-Gleichung lässt sich somit umformen in:

$ D = \frac{k_\mathrm{B} T}{6\pi\,\eta\,r} $.

Diese Form wird auch Stokes-Einstein-Gleichung genannt. Sie kann genutzt werden um den Diffusionskoeffizienten eines globulären Proteins in wässriger Lösung zu bestimmen: Für ein Protein von 100 kDa erhalten wir D ~10-10 m2s-1, wobei wir eine Dichte von ~1,2 103 kg m-3 annehmen.

Elektrische Leitfähigkeit

Auf die elektrische Leitfähigkeit bezogen teilt man für gewöhnlich durch die Ladung q des Ladungsträgers und definiert die Elektronenbeweglichkeit

$ \mu = \frac{v_d}{E} $

wobei E das wirkende elektrische Feld ist. Die Einstein-Gleichung wird somit zu

$ D = \frac{\mu \, k_\mathrm{B} T}{q} $

Für einen Halbleiter mit beliebiger Zustandsdichte lautet die Einstein-Gleichung

$ D = \frac{\mu \, p}{q \frac{d\, p}{d \eta}} $

mit dem chemischen Potential $ \mu $ und der Teilchenzahl p.

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