Zustandsdichte

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Die Zustandsdichte $ D(E) $ bzw. $ D(\omega) $ ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls $ [E, E+\mathrm{d}E] $ bzw. $ [\omega, \omega+\mathrm{d}\omega] $ existieren.

Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf die Festkörperphysik.

Im 3-dimensionalen $ \vec{k} $-Raum ist die Zustandsdichte $ D(\vec{k}) $ konstant gleich $ (L/2\pi)^3 $, wobei $ L $ die Länge einer Gitterperiode ist.

Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Objekte beziehen wie z. B. auf Phononen, Elektronen, Magnonen, Quasiteilchen in Supraleitern und vieles mehr.

Zustandsdichte allgemein für einen n-dimensionalen Festkörper

Allgemein für einen n-dimensionalen Festkörper ist die Zustandsdichte der Elektronen durch

$ \rho(\epsilon):=\int_{BZ}\frac{d^nk}{(2\pi)^n}\delta(\epsilon-E(\vec k)) $

definiert. Anschaulich zählt man die erlaubten Energiezustände in einer Brillouin Zone.

Zustandsdichte für ein n-dimensionales Elektronengas

Zustandsdichte (DOS) über der Energie abhängig von der Dimension (2D=rot, 1D=grün, 0D=blau).

In einem n-dimensionalen Elektronengas können sich Ladungsträger in den Dimensionen 1, …, n frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung in Abhängigkeit vom Betrag des Wellenvektors angegeben werden:

$ E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $

Dabei ist m* die effektive Masse des Ladungsträgers im Festkörper. Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten $ E_l $.

Die Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:

$ D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_x\cdot L_y\cdot L_z\quad $.

Der Vorfaktor 2 entspricht den zwei möglichen Spinzuständen. V ist das Volumen des Festkörpers. N(E) steht für die Anzahl aller bei der Energie E zugänglichen Zustände:

Im n-dimensionalen k-Raum beschreibt $ V_k $ das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie $ E-E_l $ zugänglich sind; $ \Omega_k $ ist das Volumen eines solchen Zustandes.

$ N(E)= \begin{cases} \sum_l \Theta(E-E_l) & \text{wenn} \quad n=0\\ \sum_l \Theta(E-E_l) \frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n=1,2\\ \frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n=3 \end{cases} $
Werte für verschieden-dimensionale Elektronengase
$ V_k $ $ {\Omega_k} $ $ D(E) $
3D – Bulk $ \frac{4}{3}\pi k^3 $ $ \frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z} $ $ \frac{(2m^*)^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E} $
2D – Quantentopf $ \pi k^2 $ $ \frac{(2\pi)^2}{L_x L_y} $ $ \frac{m^*} {\pi\hbar^2 L_z} \sum_l \Theta(E-E_l) $
1D – Quantendraht $ 2k $ $ \frac{2\pi}{L_x} $ $ \frac{\sqrt{2m^*}}{\pi\hbar L_y L_z}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}} $
0D – Quantenpunkt $ \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l) $

Zustandsdichte im Halbleiter

Zustandsdichten (farbig) in einem undotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Zusätzlich ist die Fermi-Verteilung bei Raumtemperatur nach links aufgetragen, als Energieniveaus das Fermi-Niveau EF und die Leitungsbandenergie EC.

In Halbleitermaterialien wird wegen der periodisch auftretenden Atomkerne ein ähnlicher Ansatz für das Leitungs- und Valenzband gemacht (siehe Bändermodell). Den frei beweglichen Ladungsträgern in den beiden Bändern, also Elektronen und Löchern, wird eine effektive Masse zugewiesen und die Zustandsdichten für die beiden Bänder wie oben als quadratisch angenommen. Den Abstand der Extrema dieser beiden Zustandsdichten bezeichnet man als Bandlücke. Dabei wird bei einer Versetzung der Extrema im k-Raum (Impulsraum) von einem indirekten, bei gleichem Impulsunterschied von einem direkten Halbleiter gesprochen. Die Elektronen und Löcher versuchen, in diesen möglichen Zuständen ein Minimum der Energie einzunehmen und streben zur Bandkante hin, also zu den Extrema. Es treten also, soweit möglich, tatsächlich besetzte Zustände vermehrt dort auf.

Zustandsdichten (farbig) in einem n-dotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Energieniveau der Dotieratome ED.

Die Energie der Unterkante Leitungsband sei $ E_\mathrm{C} $, die der Oberkante Valenzband $ E_\mathrm{V} $, die Differenz ist gleich der Bandlückenenergie $ E_\mathrm{G}=E_\mathrm{C}-E_\mathrm{V} $. Die Zustandsdichte im Leitungsband ist ($ m^*_\mathrm{e,d} $ ist die Zustandsdichtemasse des Elektrons im Leitungsband, also seine gemittelte effektive Masse):

$ D_\mathrm{C}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{e,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E-E_\mathrm{C}} $

Die Zustandsdichte im Valenzband ist ($ m^*_\mathrm{p,d} $ ist die Zustandsdichtemasse des Lochs im Valenzband):

$ D_\mathrm{V}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{p,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E_\mathrm{V}-E} $

Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei n-Dotierung nahe am Leitungsband und bei p-Dotierung nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die Aktivierungsenergie überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Fermi-Niveaus: es wird bei n-Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei p-Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer n-Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den Stromtransport erhöhen.

Die thermische Besetzung der Zustände wird durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie $ [E, E+\mathrm{d}E] $ besetzt ist, schreibt sich

$ W_\mathrm{e}(E) = \frac{1}{\exp{\left(\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1} $

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie $ [E, E+\mathrm{d}E] $ nicht besetzt oder äquivalent ausgedrückt mit einem Loch besetzt ist, schreibt sich

$ W_\mathrm{h}(E) = 1-W_\mathrm{e}(E)=\frac{1}{\exp{\left(-\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1} $

Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten, also Elektronendichte im Leitungsband $ n $ und Löcherdichte $ p $ im Valenzband, angeben:

$ n=\int_{E_\mathrm{C}}^{\infty}W_\mathrm{e}(E)\, D_\mathrm{C}(E)\,\mathrm{d}E $

sowie

$ p=\int_{-\infty}^{E_\mathrm{V}}W_\mathrm{h}(E)\, D_\mathrm{V}(E)\,\mathrm{d}E $

Eigentlich sollten die Integrationsgrenzen nicht bis unendlich ausgedehnt sein, sondern nur bis zum Ende des jeweiligen Bandes. Allerdings ist dort die Fermi-Verteilung schon näherungsweise Null – das chemische Potential liegt nämlich im Bereich der Bandlücke – sodass der Fehler vernachlässigbar ist. Zur Berechnung dieser Integrale siehe Fermi-Dirac-Integral.

Literatur

  •  Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik Bd. 3 – Atome, Moleküle und Festkörper. 3. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21473-9.

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