Debye-Länge


Debye-Länge

In der Plasmaphysik ist die Abschirmlänge, nach Peter Debye Debye-Länge oder Debye-Radius genannt, die charakteristische Länge, auf welcher das Potential einer lokalen Überschussladung auf das $ \tfrac{1}{e} $-fache abfällt ($ e $: Eulersche Zahl).

In der näheren Umgebung einer Ladung befinden sich durch die elektrostatische Abstoßung bzw. Anziehung im statistischen Mittel weniger Ladungsträger gleicher Polarität als solche entgegengesetzter Polarität. Dadurch wird die Ladung nach außen hin abgeschirmt. Durch die thermische Bewegung der Teilchen wird die Ordnung gestört und damit die abschirmende Wirkung geschwächt. Die sich ergebende Abschirmlänge ist eine zentrale Größe in der Debye-Hückel-Theorie. Ihr Wert hängt bei gegebenen Bedingungen von der Symmetrie des Problems ab: von Abschirmlänge spricht man bei einer ebenen Ladungsverteilung, von Debye-Radius bei Kugelsymmetrie.

Das Prinzip der Abschirmung einer Ladung durch frei bewegliche Ladungsträger ist anwendbar auf Plasmen, Elektrolyte und Halbleiter.

Debye-Länge in Plasmen

Im Gleichgewicht gilt:

$ \lambda_\mathrm{D}^{-2} = \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0}\left(\frac{1}{k_\mathrm{B} T_e} + \frac{1}{k_\mathrm{B} T_i}\right) = \lambda_\mathrm{De}^{-2} + \lambda_\mathrm{Di}^{-2} $

Darin ist

λD die Debyelänge,
λDe die Elektronen-Debyelänge,
λDi die Ionen-Debyelänge (für einfach geladene Ionen)
Te, Ti die Temperatur der Elektronen bzw. Ionen,
ne die Anzahldichte der Elektronen,
ε0 die Elektrische Feldkonstante,
kB die Boltzmannkonstante,
e die Elementarladung, also die Ladung eines Elektrons.

In einem Plasma geringer Teilchendichte sind in Gegenwart elektrischer Felder die Elektronen oft viel heißer als die Ionen und deshalb gleichmäßiger verteilt. Dann gilt näherungsweise $ \lambda_\mathrm{D} \approx \lambda_\mathrm{Di} $. Umgekehrt ist in einem dichten Plasma oder bei schnell veränderlichen Feldern die Beweglichkeit der Ionen zu gering, um ihre Dichte dem Feld anzupassen. Dann kann der Ionen-Term vernachlässigt werden und es gilt

$ \lambda_\mathrm{D} \approx \lambda_\mathrm{De} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_\mathrm{B} T_e}{n_e e^2}} $.

Debye-Länge in Elektrolyten

Im Elektrolyten gilt:

$ \lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} k_\mathrm{B} T}{2 N_\mathrm{A} e^2 I}} $,

wobei I die Ionenstärke des Elektrolyten, $ \varepsilon_\mathrm{r} $ die Permittivität und $ N_\mathrm{A} $ die Avogadro-Konstante ist.

Für wässrige Lösungen eines 1:1-Elektrolyten wie etwa Kochsalz ergibt sich bei Raumtemperatur in 0,1-molarer Lösung eine Debyelänge von 0,96 nm, in 0,001 molarer Lösung sind es 9,6 nm.

Debye-Länge in Halbleitern

Für einen n-Typ Halbleiter gilt:

$ \lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_s}{e n_0 \beta}} $

und für einen p-Typ Halbleiter:

$ \lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_s}{e p_0 \beta}} $.

Dabei ist $ \varepsilon_\mathrm{s} $ die Dielektrizitätskonstante des Halbleiters, e die Elementarladung, $ n_0\, $ bzw. $ p_0\, $ die Gleichgewichts-Ladungsträgerdichte des Halbleiters und $ \beta = \frac{q}{k T} $.