Debye-Waller-Faktor

Der Debye-Waller Faktor (DWF, nach Peter Debye und Ivar Waller) beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Intensität der kohärent elastisch gestreuten Strahlung an einem Kristallgitter^[1]^[2]. Nur diese elastische Streuung unterliegt den Laue-Bedingungen; die komplementäre, inelastische Streuung wird als thermisch-diffus bezeichnet.

In der Neutronenstreuung wird der Begriff Debye-Waller-Faktor teilweise unterschiedslos auf kohärente und inkohärente Streuung angewandt; teilweise wird für letztere aber auch der genauere Begriff Lamb-Mössbauer-Faktor benutzt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I=I_{{0}} \mathrm{e}^{-1/3\, \left| \vec G \right|^{2}\overline {{u}^{2}}}

Hier ist I₀ die Intensität der einfallenden Welle, die um den Faktor der e-Funktion auf I reduziert wird. G ist ein reziproker Gittervektor, und u die temperaturabhängige Oszillationsamplitude der Atome.

Dabei werden die Bragg-Beugungsreflexe aufgrund der Gitterschwingungen umso mehr gedämpft, je höher die Temperatur ist und je höher ihre Ordnung ist.

Bei Betrachtung eines harmonischen Oszillators mit der Energie^[3]:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\overline{E}}=\frac{1}{2} M {{\omega}^{2}}\overline {{u}^{2}}=\frac{3}{2}k_{b} T

lässt sich der temperaturabhängige Debye-Waller Faktor wie folgt schreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {DWF}=\mathrm{e}^{-k_{b} T \left| \vec G \right|^{2} /{ M {\omega}^{2}}}

Herleitung

Der Strukturfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{hkl} ist ein Maß für die relative Intensität eines durch die Millerschen Indizes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l bestimmten Beugungsreflexes.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{hkl}=\sum_{i}f_{i}\,\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{r}_{i}\right]

Die Summe läuft über alle Atome der Basis. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_{i} ein Ortsvektor, der von einem festen Bezugspunkt innerhalb der Elementarzelle zum Kern des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i -ten Atom zeigt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G}=h\vec{b}_{1}+k\vec{b}_{2}+l\vec{b}_{3} ein reziproker Gittervektor und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_{i} der atomare Streufaktor des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i -ten Atoms:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_{i}=\int_{V_{A_{i}}}n_{i}(\vec{\tilde{r}}\,)\,\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{\tilde{r}}\right]\mathrm{d}^{3}\tilde{r}

$V_{A_{i}}$ ist das Volumen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{i}(\vec{\tilde{r}}\,) das Streuvermögen (z. B. Elektronendichte bei Röntgenbeugung, Ladungsdichte bei Elektronenbeugung) des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i -ten Atoms.

Betrachtet man die thermische Bewegung der Atome, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_{i} zeitabhängig. Nun zerlegt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_{i} in einen mittleren Aufenthaltsort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_{i,0} (Gleichgewichtslage, ruhend) und die Auslenkung ${\vec {u}}_{i}(t)$ (zeitabhängig). Letztere führt auf den Debye-Waller-Faktor.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_{i}(t)=\vec{r}_{i,0}+\vec{u}_{i}(t)

Die Schwingungsperioden sind sehr kurz (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <10^{-10} s) gegenüber der Beobachtungsdauer, sodass immer ein zeitlicher Mittelwert gemessen wird. Der zeitliche Mittelwert des Strukturfaktors ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{F_{hkl}}=\sum_{i}f_{i}\,\overline{\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\left(\vec{r}_{i.0}+\vec{u}_{i}(t)\right)\right]}=\sum_{i}f_{i}\,\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{r}_{i.0}\right]\,\overline{\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)\right]}

Für kleine Auslenkungen entwickelt man die Exponentialfunktion bis zur zweiten Ordnung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)\right]}\approx1+i\,\overline{\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)}-\frac{1}{2}\overline{\left(\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)\right)^{2}}

Die erste Ordnung verschwindet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)}=0 , da die Auslenkungen ${\vec {u}}_{i}(t)$ statistisch in alle Raumrichtungen erfolgen (zeitlicher Mittelwert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_{i} ist Null) und nicht mit der Richtung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G} korreliert sind. Die zweite Ordnung ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\left(\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)\right)^{2}}=|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}\,\overline{\cos^{2}\theta}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta der Winkel zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G} und ${\vec {u}}_{i}(t)$ . Man mittelt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos^{2}{\theta} über alle Richtungen im dreidimensionalen Raum, also Integration über die Einheitskugel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\cos^{2}\theta}=\frac{\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta\,\sin\theta\cos^{2}\theta}{\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta\,\sin\theta}=\frac{1}{3}

In die Exponentialfunktion eingesetzt ergibt dies:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)\right]}\approx1-\frac{1}{6}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}\approx\exp\left[-\frac{1}{6}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}\right]

Der Strukturfaktor schreibt sich nun:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{F_{hkl}}=\sum_{i}f_{i}\,\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{r}_{i.0}\right]\,\exp\left[-\frac{1}{6}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}\right]

Für gleichartige Atome ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}} für alle $$ i $$ annähernd gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{|\vec{u}\,|^{2}} . Somit kann man den zweiten Exponentialfaktor vor die Summe ziehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{F_{hkl}}=\exp\left[-\frac{1}{6}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}(t)|^{2}}\right]\,\sum_{i}f_{i}\,\exp\left[i\,\vec{G}\cdot\vec{r}_{i.0}\right]=\exp\left[-\frac{1}{6}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}(t)|^{2}}\right]\, F_{hkl}^{\, 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{hkl}^{\, 0} ist der Strukturfaktor des statischen Falls (starres Gitter, keine Bewegung der Atome). Die Intensität ist proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I = c |F_{hkl}|^{2} . Die zeitlich gemittelte Intensität ist somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{I}=c\,|\overline{F_{hkl}}|^{2}=c\,|F_{hkl}^{\, 0}|^{2}\,\exp\left[-\frac{1}{3}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}|^{2}}\right]=I_{0}\exp\left[-\frac{1}{3}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}|^{2}}\right]

Die gemittelte Intensität ist gegenüber dem statischen Fall $I_{0}=c|F_{hkl}^{\,0}|^{2}$ um den Debye-Waller-Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \exp\left[-\frac{1}{3}\,|\vec{G}|^{2}\,\overline{|\vec{u}|^{2}}\right] erniedrigt.

Der Debye-Waller-Faktor ist maximal 1, dann wenn die Atome nicht schwingen (entspricht dem statischen Fall, näherungsweise bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=0 K). Bei größerer Temperatur wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{|\vec{u}|^{2}} größer, somit der Exponentialfaktor kleiner. Durch thermische Bewegung der Atome werden die Reflexe nicht verbreitert, sondern deren Intensität herabgesetzt. Es erscheint allerdings ein diffuser Untergrund zwischen den Reflexen als Folge der Energieerhaltung.

Der Debye-Waller-Faktor und somit die Intensität ist außerdem umso kleiner, je größer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec{G}|^{2} ist, also je höher die Millerschen Indizes der Netzebenenschar, an der die Bragg-Reflexion stattfindet, sind.

Einzelnachweise

↑ Peter Debye: Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung. In: Ann. d. Phys.. 348, Nr. 1, 1913, S. 49–92. Bibcode: 1913AnP...348...49D. doi:10.1002/andp.19133480105.
↑ Ivar Waller: Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen. In: Springer (Hrsg.): Zeitschrift für Physik A. 17, Berlin / Heidelberg, 1923, S. 398–408. Bibcode: 1923ZPhy...17..398W. doi:10.1007/BF01328696.
↑ C. Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, 7. Auflage, Oldenbourg, 1986, ISBN 3-486-20240-5 , Anhang A, S. 680ff

[Debye1913-1] Peter Debye: Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung. In: Ann. d. Phys.. 348, Nr. 1, 1913, S. 49–92. Bibcode: 1913AnP...348...49D. doi:10.1002/andp.19133480105.

[Waller1923-2] Ivar Waller: Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen. In: Springer (Hrsg.): Zeitschrift für Physik A. 17, Berlin / Heidelberg, 1923, S. 398–408. Bibcode: 1923ZPhy...17..398W. doi:10.1007/BF01328696.

[3] C. Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, 7. Auflage, Oldenbourg, 1986, ISBN 3-486-20240-5 , Anhang A, S. 680ff

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