Debye-Hückel-Theorie

Die Debye-Hückel-Theorie (nach Peter Debye und Erich Hückel) ^[1] beschreibt die elektrostatischen Wechselwirkungen von Ionen in Elektrolytlösungen. Diese Coulombschen Anziehungs- und Abstoßungskräfte führen zu einer Abweichung der Aktivität $ a_{i} $ (wirksame Konzentration, früher „aktive Masse“) der Ionensorte $ i $ von ihrer molaren Konzentration $ c_{i} $ gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i = f_i \cdot c_i . Die Debye-Hückel-Theorie liefert Gleichungen, mit denen der individuelle Aktivitätskoeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_i in Abhängigkeit von Konzentration, Temperatur und Dielektrizitätskonstante des Lösungsmittels berechnet werden kann.

Grundlagen

Modellvorstellung

Entgegengesetzt geladene Ionen ziehen sich an, gleichnamig geladene Ionen stoßen sich ab. Aus diesen Gründen sind Ionen in einer Lösung nicht willkürlich verteilt, sondern besitzen eine gewisse Nahordnung, in der Anionen eher in der Nähe von Kationen zu finden sind und umgekehrt (Abb.). Elektroneutralität der Lösung ist dabei gewahrt. Im Gegensatz zum Ionengitter können sich Ionen in Lösung nicht vollständig regelmäßig anordnen, weil Lösungsmittelmoleküle als Dielektrikum die Coulombschen Wechselwirkungen abschwächen, worauf die thermische Bewegung zu einer stärkeren Verteilung der Ionen führt. Im zeitlichen Mittel befindet sich aber jedes Ion im Zentrum einer Wolke aus entgegengesetzt geladenen Ionen (in der Abb. durch Kreise angedeutet). Diese Ionenwolken schirmen die Ladung des Zentralions ab, was der Grund für die Einführung der Aktivität als "wirksame Konzentration" bei Ionen ist.

Wichtige Größen

Ausgehend von diesen Modellvorstellungen haben P. Debye und E. Hückel durch Kombination der Poisson-Gleichung mit der Boltzmann-Statistik zur Beschreibung der Ionenverteilung einige in der Elektrochemie häufig benutzte Gleichungen abgeleitet. Zur Vereinfachung benutzten sie dabei die folgenden Abkürzungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I = \frac{1}{2} \sum_i c_i z_i^2

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I	Ionenstärke
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_i	Konzentrationen der Ionensorten in der Lösung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z_i	Ladungszahlen der Ionensorten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \kappa = \sqrt{\frac{2N_A e^2 I}{\varepsilon k_\mathrm{B}T}} = F \cdot \sqrt{\frac{2 \, I}{\varepsilon \cdot R \, T}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e	Elementarladung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon	Permittivität des Lösungsmittels; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_\mathrm{B}	Boltzmannkonstante
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T	Temperatur
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_\mathrm{A}	Avogadro-Konstante
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = N_\mathrm{A} \cdot e	Faraday-Konstante
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R = k \cdot N_\mathrm{A}	Universelle Gaskonstante

Ergebnisse

Aktivitätskoeffizient f der Ionensorte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i

$ \ln f_{i}=-{\frac {z_{i}^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon k_{\mathrm {B} }T}}\cdot {\frac {\kappa }{1+\kappa \,r_{i}}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_i

Radius der Ionensorte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i

Diese Gleichung wird oft als erweitertes Debye-Hückel-Grenzgesetz in der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lg f_i = -\frac{A\, z_i^2\, \sqrt{I}}{1+B\, r_i\, \sqrt{I}}

verwendet. Darin sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A = \left(\frac{e^2}{4\varepsilon k_\mathrm{B}T}\right)^\frac{3}{2} \left(\frac{2N_\mathrm{A}}{\pi^2}\right)^\frac{1}{2} \frac{1}{\ln 10}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B = \sqrt{\frac{2N_A e^2}{\varepsilon k_\mathrm{B}T}}

Der Gültigkeitsbereich liegt ca. bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I\le 10^{-2} mol dm⁻³.

Radius der Ionenwolke

Es stellte sich heraus, dass sich das Reziproke von $ \kappa $ als Radius der Ionenwolke interpretieren lässt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon k_\mathrm{B}T}{2N_\mathrm{A} e^2 I}}

Diesen Radius nennt man auch Abschirmlänge oder Debye-Länge.

Debye-Hückel-Grenzgesetz

Konstanten der Debye-Hückel-Gleichung für mittlere Konzentrationen

Temperatur in °C	A	B
0	0,4883	0,3241 · 1010
15	0,5002	0,3267 · 1010
20	0,5046	0,3276 · 1010
25	0,5092	0,3286 · 1010
30	0,5141	0,3297 · 1010
40	0,5241	0,3318 · 1010
50	0,5351	0,3341 · 1010
60	0,5471	0,3366 · 1010
80	0,5739	0,3420 · 1010

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lg f_i = - A\, z_i^2\, \sqrt{I}

Darin ist A = 0,509 dm^3/2 mol^−1/2 zu setzen, wenn Wasser bei 25 °C als Lösungsmittel verwendet wird. Für andere Temperaturen und/oder Lösungsmittel muss es nach der oben angegebenen Gleichung berechnet werden.

Das ist die für praktische Belange am häufigsten zitierte Gleichung, die sich in der Näherung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_i\ll \kappa^{-1} ergibt. Sie gilt also für Ionenwolken, die wesentlich größer sind als das umschlossene Ion. In der Regel sind das sehr verdünnte Lösungen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I\le 10^{-3} mol·dm⁻³.

Mittlerer Aktivitätskoeffizient und Debye-Hückel-Grenzgesetz

Individuelle Aktivitätskoeffizienten (bzw. -aktivitäten) können zwar berechnet, aber aufgrund der Elektroneutralitätsbedingung nicht gemessen werden. Für den messbaren mittleren Aktivitätskoeffizienten eines Elektrolyten gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lg f_\pm = - A\, \left|z_+\cdot z_-\right|\, \sqrt{I}

Näheres siehe Aktivität.

Debye-Hückel-Onsager-Gesetz zur Leitfähigkeit von Ionen

Von Onsager (1927) wurde die Theorie auch für Leitfähigkeitsmessungen angewendet. Die gegensätzlich geladene Ionenwolke um das Zentralion bremst die Wanderungsgeschwindigkeit des Zentralions nach Debye-Hückel. Die Viskosität des Lösungsmittels hat gewichtigen Einfluss auf die Stärke der Abbremsung. Bei einer gerichteten Bewegung in einem elektrischen Feld tritt nun auch eine Störung der Symmetrie der Ionenwolke ein. Die Zeitperiode bis sich die Ionen wieder neu ordnen wird Relaxationszeit genannt. Die durch Bewegung des Zentralions entstehende Unsymmetrie mit Bremswirkung nennt man Relaxations- oder Wien-Effekt.

Die ursprünglich von Kohlrausch und Ostwald aufgestellte Theorie der Ionenbeweglichkeiten (Ostwaldsches Verdünnungsgesetz, Kohlrauschsches Quadratwurzelgesetz) fand durch die Debye-Hückel-Onsager-Theorie Verbesserungen. Die Ionenbeweglichkeit und die Äquivalentleitfähigkeit sind konzentrationsabhängig.

Für das Lösungsmittel Wasser, bei 25 °C kann für (starke) 1,1-Elektrolyte die folgende Beziehung aufgestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda_\mathrm{m}(c) = \Lambda_\mathrm{m}^0 - (0{,}230\cdot\Lambda_\mathrm{m}^0 + 60{,}68) \cdot c^{1/2}

Für 2,1 -Elektrolyte (z. B. Na₂SO₄) in Wasser bei 25 °C gilt ungefähr:

$ \Lambda _{\mathrm {m} }(c)=\Lambda _{\mathrm {m} }^{0}-(0{,}770\cdot \Lambda _{\mathrm {m} }^{0}+80)\cdot c^{1/2} $

Für 1,2 -Elektrolyte (z. B. MgCl₂) in Wasser bei 25 °C gilt ungefähr:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda_\mathrm{m}(c)=\Lambda_\mathrm{m}^0 - (0{,}70\cdot\Lambda_\mathrm{m}^0 + 60) \cdot c^{1/2}

Für 2,2-Elektrolyte in Wasser bei 25 °C gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda_\mathrm{m}(c)=\Lambda_\mathrm{m}^0 - (1{,}85\cdot\Lambda_\mathrm{m}^0 + 243) \cdot c^{1/2}

Für 3,1-Elektrolyte in Wasser bei 25 °C gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda_\mathrm{m}(c)=\Lambda_\mathrm{m}^0 - (1{,}05\cdot\Lambda_\mathrm{m}^0 + 100) \cdot c^{1/2}

Die obigen Formeln sind jedoch nur für verdünnte (bis 0,01 Mol/Liter) Lösungen anwendbar

Verbesserungen der Theorie kamen durch die mathematische Beschreibungen von Doppel-, Tripelionen unter E. Wickie und M. Eigen. Mit diesen Modellen wurde das Debye-Hückel-Onsager-Gesetz auf höher konzentrierte Lösungen (bis 1 Mol/Liter) ausgedehnt.

Bei hohen Frequenzen, die der Relaxationszeit entsprechen, entfällt die elektrostatische Bremswirkung der Ionenbewegung.

Literatur

• Jerome A. Berson: Chemical Creativity. Ideas from the Work of Woodward, Hückel, Meerwein, and Others. Wiley-VCH, Weinheim u. a. 1999, ISBN 3-527-29754-5.

Literaturquellen