Bose-Einstein-Statistik


Bose-Einstein-Statistik

Illustration der Besetzung $ \langle n(E)\rangle $ für Bosonen (obere Kurve) bzw. Fermionen (untere Kurve), jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit. Das chemische Potential $ \mu $ ist im Bose-Fall ein negativer Parameter, der in bestimmter Weise von Temperatur und Dichte abhängt und im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden würde; im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei $ T = 0 \, \mathrm{K} $ entspricht es der Fermienergie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $ \langle n(E) \rangle $ eines Quantenzustands der Energie  $ E\, $ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $ T $ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $ E $ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $ x, y, z, m\, $ zweier Bosonen ($ x, y\, $ und $ z\, $: Ortsvariable; $ m\, $: Spinvariable) die Wellenfunktion $ \psi \, $ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $ (\psi \rightarrow \psi) $, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $ (\psi \rightarrow -\psi) $. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$ \langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1} $

mit

  • dem chemischen Potential $ \mu $, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert $ E $ ist, und
  • der Energienormierung $ \beta $. Die Wahl von $ \beta $ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
    • üblicherweise wird sie gewählt zu $ \beta = 1/(k_\mathrm{B} T) $ mit der Boltzmann-Konstanten $ k_\mathrm{B} $;
    • sie beträgt $ \beta = 1/T $, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $ k_\mathrm{B} $ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $ T_\lambda $ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $ \mu\, $ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $ \langle n(E) \rangle $ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $ g_i = 2s +1 $ zu multiplizieren ($ s\, $: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur

  • U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).