Wellenvektor


Wellenvektor

Der Wellenvektor ist in der Physik ein Vektor, der senkrecht auf der Wellenfront einer Welle steht. Er hat die Einheit 1/m. In Formeln wird für ihn üblicherweise das Zeichen $ \vec{k} $ gewählt. In den meisten Fällen gibt er die Ausbreitungsrichtung der Welle an. Bei elektromagnetischen Wellen in bestimmten Medien kann jedoch die Richtung des Poynting-Vektors für den Energiefluss vom Wellenvektor abweichen.

Beschreibung

Eine ebene Welle, die sich in $ \vec k $-Richtung ausbreitet, lässt sich in der Form

$ \psi (\vec r,t) = A e^{i(\vec k\vec r - \omega t)} $

schreiben.

Mit den Komponenten in x-, y- und z-Richtung

$ \vec{k} = (k_x, k_y, k_z) $

zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen k-Raum, auch reziproker Raum genannt, in eine bestimmte Richtung.

Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl $ k $, daher auch die Bezeichnung Wellenzahlvektor. Es ist

$ k = |\vec{k}| = \frac{\omega}{c}=\frac{2 \pi}{\lambda}, $

wobei $ \omega $ die Kreisfrequenz, $ c $ die Phasengeschwindigkeit und $ \lambda $ die Wellenlänge ist.

Wellenvektor und Quantenzahlen

Der Wellenvektor ist nicht immer quantisiert. So kann die Wellenlänge von Licht im Vakuum jeden positiven Wert annehmen.

Anders verhält es sich mit Teilchen in einem endlichen Raum, beispielsweise in einem Potentialtopf oder einem Elektron in einem Festkörper. Hier sind die erlaubten Wellenvektoren quantisiert, wenngleich sie selbst keine Quantenzahlen darstellen. Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen, bzw. können seine möglichen Werte durch Quantenzahlen abgezählt werden. Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien eines quantenmechanischen Problems mit einem diskreten Spektrum $ E_n $ zu sehen: Der Index n der diskreten Energie ist die Quantenzahl, nicht jedoch die Energie selbst.

Veranschaulichung: Die Lösungen der Schrödingergleichung eines dreidimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs lauten

$ \Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)\propto\sin\left( k_x x \right) \cdot \sin\left( k_y y\right) \cdot \sin\left( k_z z \right) $

mit

$ k_i = \frac{n_i\pi}{a_i} \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad i=x,y,z. $

Die Zustände des Teilchens, das als Welle beschrieben wird, sind also durch die Quantenzahlen $ n_x $, $ n_y $ und $ n_z $ charakterisiert. Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen, kann auch der Wellenvektor $ \vec k=(k_x,k_y,k_z) $ verwendet werden. Jedoch darf dieser oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden, weil der Wellenvektor zum einen dimensionsbehaftet ist und zum anderen durch reelle Zahlen dargestellt ist.

Bei einem Potentialtopf mit $ n $ Teilchen ergeben sich $ n $ Vektoren im k-Raum. Wenn es sich um Elektronen, also Fermionen handelt, gibt es pro Wellenvektor zwei Zustände, die sich im Spin unterscheiden.

Wellenvektor und Impuls

Bei Photonen (Einstein-Gleichungen) sowie bei Materiewellen (De-Broglie-Relation) gibt der Wellenvektor über einen einfachen, zum reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $ \hbar $ proportionalen Zusammenhang deren vektoriellen Impuls an:

$ \vec p = \hbar \vec k $