Rydberg-Konstante

Physikalische Konstante
Name	Rydberg-Konstante
Formelzeichen	$R_{\mathrm{\infty }}$
Wert
SI	$10973731,568539m^{-1}$
Unsicherheit (rel.)	$5,0\cdot 10^{-12}$
Bezug zu anderen Konstanten
$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\alpha }^2{m}_{e}c}{2h}$ $\alpha$ – Feinstrukturkonstante $m_e$ – Elektronenmasse $c$ – Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $h$ – Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010 (NIST)

Die Rydberg-Konstante $R_{\mathrm{\infty }}$ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante in einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren, siehe Rydberg-Formel. Der Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher Kernmasse, daher der Index $\mathrm{\infty }$).

Der derzeit (CODATA 2010) empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt

$R_{\mathrm{\infty }}=10973731,568539(55)m^{-1}.$

Die relative Standardunsicherheit beträgt 5,0·10^-12. Damit ist es die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λ_C,e eines Elektrons nach

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\alpha }^2}{2}\frac{1}{{\lambda }_{C,e}}=\frac{{\alpha }^2}{2}\frac{m_{e}c}{h}=\frac{m_e{e}^4}{8c{ϵ}_0^2{h}^3}$

mit

• $m_e$ der Masse des Elektrons
• $c$ der Lichtgeschwindigkeit
• $h$ dem Planckschen Wirkungsquantum
• $e$ der Elementarladung
• ${ϵ}_0$ der Dielektrizitätskonstante.

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen

• Rydberg-Frequenz: $R=c{R}_{\mathrm{\infty }}=3,289841960364\left(17\right)\cdot 10^{15}\mathrm{H}\mathrm{z}$
• Rydberg-Energie: $R_y=hR=hc{R}_{\mathrm{\infty }}=13,60569253\left(30\right)\mathrm{e}\mathrm{V}=1\mathrm{R}\mathrm{y}.$

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $R_y$ wird ein Rydberg genannt, damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Die Rydberg-Konstante $R_{\mathrm{\infty }}$ lässt sich aus folgenden vier Bedingungen berechnen:

• Die bohrsche Bedingung ist

$2\pi r=n\lambda ,$

wobei $r$ den Radius des Elektronenorbits bezeichnet.

• Für die Zentripetalkraft gilt

$F_Z=\frac{m{v}^2}{r}.$

• Coulombkraft zwischen Elektron und einfach geladenem Atomrumpf

$F_C=-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

• Die elektrische potentielle Energie des Elektrons beträgt:

$V=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}{F}_C\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐫}=-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}.$

Mit der Beziehung von de Broglie $\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$ erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung:

$v=\frac{nh}{2\pi rm}.$ (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

$F_Z=-F_C$

$\iff \frac{m{v}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}.$ (2)

Einsetzen von (1) liefert den Radius

$r=\frac{n^2{h}^2{ϵ}_0}{\pi m{e}^2}.$ (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also die einzigen erlaubten Bahnradien.

Außerdem folgt aus (2) für die kinetischen Energie

$T=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{e^2}{8\pi {ϵ}_{0}r}$

und für die Gesamtenergie

$\begin{array}{rl}E& =T+V\\ & =\frac{e^2}{8\pi {ϵ}_{0}r}-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}\\ & =-\frac{e^2}{8\pi {ϵ}_{0}r}.\end{array}$

Einsetzen von (3) ergibt

$\begin{array}{rl}E& =-\frac{m{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}\cdot \frac{1}{n^2}\end{array}$

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potentielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n₁ nach n₂ auch eine Energieänderung stattfindet. Diese ist gerade

$\mathrm{\Delta }E=\frac{m{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}(\frac{1}{n_2^2}-\frac{1}{n_1^2})$

oder mit

$\mathrm{\Delta }E=\frac{hc}{\lambda }$

als Wellenlängenänderung geschrieben:

$\frac{1}{\lambda }=\frac{m{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}(\frac{1}{n_2^2}-\frac{1}{n_1^2}).$

Die Rydberg-Konstante ist daher gerade

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{m{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}.$

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.