Coulombsches Gesetz


Coulombsches Gesetz

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Das coulombsche Gesetz, auch Coulomb-Gesetz genannt, bildet die Basis der Elektrostatik und beschreibt die Kraft zwischen zwei kugelsymmetrisch verteilten elektrischen Ladungen (Spezialfall: Punktladungen). Es besagt, dass der Betrag dieser Kraft proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte ist. Die Kraft wirkt je nach Vorzeichen der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte. Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem Superpositionsprinzip addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der Influenz.

Coulomb-Kraft

Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.
Torsionspendel von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte

Das coulombsche Gesetz wurde von Charles Augustin de Coulomb um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im Internationalen Einheitensystem, in skalarer Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

$ F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} $,

wobei $ q_1 $ und $ q_2 $ zwei jeweils kugelsymmetrisch verteilte Ladungsmengen, $ r $ der Abstand zwischen deren Mittelpunkten und $ \varepsilon_0 $ die Permittivität des Vakuums (elektrische Feldkonstante) sind.

Vektorform

Die allgemeine vektorielle Notation diskreter Ladungen in beliebiger Materie ($ \varepsilon = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r $) liefert das Coulomb-Kraftfeld, dem eine Probeladung $ q_1 $ im Feld einer zweiten Ladung $ q_2 $ ausgesetzt ist, wie folgt:

$ \vec{F}_{12}(\vec{r}_1) = q_1 \frac {q_2}{4 \pi \varepsilon\cdot |\vec{r}_1 - \vec{r}_2|^2}\ {(\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \over |\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} $

(sprich: Die Kraft $ \vec{F}_{12} $ auf die Probeladung $ q_1 $, hervorgerufen von der Ladung $ q_2 $;

und: der Vektor $ \vec{r}_{21} $ vom Punkt der Ladung $ q_2 $ ausgehend zum Punkt der Probeladung $ q_1 $ )

Hierbei sind $ \hat{\vec{r}}_{21} $ der Einheitsvektor, der von $ q_2 $ (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung $ q_1 $ zeigt; sowie $ \vec{r}_1 $ und $ \vec{r}_2 $ die Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte. Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d.h. solche gleichen Vorzeichens dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft $ \vec{F}_{12} $ in solchem Fall dieselbe Orientierung wie $ \hat{\vec{r}}_{21} $ besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft $ \vec{F}_{12} $ dann (analog zum newtonschen Gravitationsgesetz) die entgegengesetzte Orientierung von $ \hat{\vec{r}}_{21} $ besitzt.


Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung $ q_2 $ gelegt, vereinfacht sich die obige Gleichung zu:

$ \vec{F}_{12}(\vec{r_1}) = q_1 \, \frac {q_2}{4 \pi \varepsilon\cdot |\vec{r}_{1}|^3}\ \vec{r}_{1} $.

Weiter ist dann

$ \vec{E}(\vec{r}) = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon \, r^3}\ \vec{r} $

der Vektor der Feldstärke des von der Zentralladung $ q_2 $ erzeugten elektrischen Feldes an der Stelle $ \vec r $, d.h. im Abstand $ \ r $ vom Ursprung.

Wird die das Feld erzeugende Zentralladung $ q_2 $ durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit der Ladungsverteilung $ \rho(r') $ ersetzt, tritt an die Stelle der eingangs gegebenen Formel für die Coulomb-Kraft auf die Probeladung $ q_1 $ das Integral

$ \vec{F}_{12}(\vec{r}) = q_1\, \frac{1}{4\pi \varepsilon} \, \int \rho(r') \cdot \frac{(\vec{r} - \vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|^3} \ d\vec{r'} \; $.

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz abgeleitet werden.

Der in den obigen Gleichungen auftretende Term

$ k_\mathrm{C} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon} $

wird auch als Coulomb-Konstante bezeichnet.

Im Vakuum ($ \varepsilon_r = 1 $) gilt:

$ k_\mathrm{C} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 \, c^2 \approx 8{,}987551787 \cdot 10^9 \, \mathrm{\frac{Vm}{As}} $

Dabei ist $ c $ die Lichtgeschwindigkeit.

Im gaußschen und elektrostatischen CGS-Einheitensystem wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung benutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, CGS-ESU und CGS-EMU unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von $ \mu_0 $:

  • Im CGS-ESU ist $ \mu_0 = 4\pi/c^2 $. Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert $ k_\mathrm{C} = 1 $.
  • Im CGS-EMU ist $ \mu_0 = 4\pi $. Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert $ k_\mathrm{C} = c^2 $.

Coulomb-Potential

Das elektrische Feld ist, solange keine zeitliche Änderung des magnetischen Felds auftritt, wirbelfrei und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von A nach B daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg. Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein Potential beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung Q wie folgt beschrieben werden kann:

$ \Phi (r)= \int \vec{E} \cdot d\vec{s}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r} + C $

Dabei ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten der Spannungsabfall U zwischen diesen beiden Punkten und die Integrationskonstante C wird typischerweise null, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet.

Die potentielle elektrische Energie $ W_{pot} $ ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

$ W_{pot} = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = q \, \int \vec{E}(r) \cdot d\vec{s} = q \cdot \Phi(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\cdot Q}{r} + C $

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird, C also auch hier = 0 ist.

Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch Magnetfelder ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein Liénard-Wiechert-Potential.

Coulomb-Kraft in einem Medium

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in homogenen, isotropen, linearen Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:

  • Es ist elektrisch neutral.
  • Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum gleichmäßig (homogen) aus.
  • Die Polarisierbarkeit des Mediums ist richtungsunabhängig.
  • Die Polarisierung ist proportional zum elektrischen Feld, das von den Ladungen erzeugt wird.

Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass $ \varepsilon_0 $ durch $ \varepsilon = \varepsilon_0\cdot\varepsilon_\mathrm{r} $ ersetzt wird:

$ F = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1\cdot q_2}{r^2} $

Die relative Permittivität $ \varepsilon_\mathrm{r} $ ist bei isotropen Medien eine Materialkonstante, die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum $ \varepsilon_\mathrm{r}=1 $.

Literatur

  • Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8.