Observable


Observable

Eine Observable (lat. observabilis = beobachtbar) ist in der Physik, insbesondere der Quantenphysik, der formale Name für eine Messgröße bzw. für eine spezielle Klasse von Operatoren, die im Zustandsraum wirken. Beispiele sind die Energie, die Ortskoordinaten, die Koordinaten des Impulses und die Komponenten des Spins eines Teilchens sowie die Pauli-Matrizen.

Von-Neumann’sche Theorie

Im traditionellen von-Neumann’schen mathematischen Formalismus der Quantenmechanik werden Observablen durch selbstadjungierte, dicht definierte lineare Operatoren $ A $ auf einem Hilbertraum $ \mathcal{H} $ dargestellt. Der Begriff „Observable“ wird oft synonym für die Messgröße, sowie für den zugeordneten Operator verwendet. Diese Theorie verallgemeinert die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Das Ergebnis einer Messung der Observablen $ A $ eines quantenmechanischen Systems, dessen Zustand durch einen normierten Vektor $ \Psi\in\mathcal{H} $ beschrieben wird, ist zufällig. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Messwert $ B $ auftreten kann, ist durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben:

$ P[B]=\langle\Psi|\lambda_A(B)\Psi\rangle $

wobei $ \lambda_A $ das Spektralmaß von $ A $ nach dem Spektralsatz bezeichnet.

Wird allgemeiner der quantenmechanische Zustand des Systems durch einen Dichteoperator $ \rho $ beschrieben, so wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses durch

$ P[B]=\operatorname{Spur}(\lambda_A(B)\rho) $

gegeben.

Der Erwartungswert des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung $ P $, wird durch $ \langle\Psi|A|\Psi\rangle $ bzw. durch $ \operatorname{Spur}(A\rho) $ gegeben.

Im Spezialfall, dass das Spektrum von $ A $ diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die Eigenwerte von $ A $. Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert $ a $ als Messergebnis zu finden, lautet dann $ \langle\phi_a|\Psi\rangle^2 $ bzw. $ \langle\phi_a|\rho\phi_a\rangle $, wobei $ \phi_a $ einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert $ a $ bezeichnet.

Beispiele:

  • Der Observablen „Ort“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Multiplikationsoperator mit $ x $ über $ L_2(\mathbb{R}) $, der Ortsoperator.
  • Der Observablen „Impuls“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Differentialoperator $ \tfrac{\hbar}{\mathrm i}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} $ über $ L_2(\mathbb{R}) $; genauer gesagt dessen selbstadjungierte Fortsetzung, der Impulsoperator. Hierbei bezeichnet $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.
  • Der Observablen „Energie“ entspricht der Hamiltonoperator.

Moderne Beschreibung durch POVM

Hauptartikel: Positive operator valued probability measure (POVM)

Nicht in den traditionellen von-Neumann'schen Formalismus passt die Beschreibung von Zeitmessungen, zum Beispiel der Ankunftszeit eines Teilchens in einem Detektor. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumannsche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch POVM.