Heisenberg-Bild


Heisenberg-Bild

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: $ |\psi_{\rm H}\rangle $ bzw. $ \hat A_{\rm H}(t) $

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet. Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Schrödingerbild vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator $ \hat U(t) $ die Zeitentwicklung der Zustände:

$ |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\hat{U}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle $

$ \hat U^{\dagger}(t) $ ist der adjungierte Operator und durch die Unitarität gilt $ \hat U^{\dagger}(t)=\hat U(t)^{-1} $.

Im Heisenbergbild dagegen steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren und die Zustände sind zeitunabhängig:

$ |\psi _{\text{S}}(0)\rangle =|\psi _{\text{H}}\rangle $

Der Erwartungswert a des Operators $ \hat A $ muss in allen Bildern gleich sein:

$ a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger }(t)}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger }(t)}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \hat{U}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)|\hat{U}^{\dagger }(t)\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}(t)\,|\hat{U}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)\rangle $
$ a=\langle \psi _{\text{S}}(0)|\hat{U}^{\dagger }(t)\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =\langle \psi _{\text{H}}|\hat{A}_{\text{H}}(t)|\psi _{\text{H}}\rangle $

Der Operator $ \hat A_{\rm H}(t) $ im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator $ \hat A_{\rm S} (t) $ im Schrödinger-Bild:

$ \hat A_{\rm H}(t)=\hat U^{\dagger}(t)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U(t) $

Es sei bemerkt, dass im Allgemeinen der Operator $ \hat A $ sowohl im Heisenberg-Bild, als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat A_{\rm H}(t)={\partial \over \partial t} \hat A_{\rm H}(t) +{i \over \hbar}[\hat H_{\rm H}(t)\mbox{,} \hat A_{\rm H}(t)] \; , $

wobei $ \left[\hat H_{\rm H}(t),\hat A_{\rm H}(t)\right] $ der Kommutator aus dem Hamilton-Operators $ \hat H_{\rm H}(t) $ und $ \hat A_{\rm H}(t) $ ist und $ {\partial \over \partial t} \hat A_{\rm H}(t) $ als Abkürzung für $ U^{\dagger}(t) {\partial \over \partial t} \hat A_{\rm S}(t) U(t) $ zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild $ \hat H_{\rm S} $ nicht von der Zeit ab, so gilt:

$ \hat H_{\rm H}(t) = \hat H_{\rm S} $

Die Observable $ \hat A $ heißt Erhaltungsgröße, wenn

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat A_{\rm H}(t)=0 $.

Gilt diese Bedingung, dann ist auch $ \langle A \rangle $ zeitunabhängig.

Siehe auch