Loschmidt-Konstante

Dieser Artikel behandelt das Verhältnis von Teilchenzahl und Volumen eines Gases. Zum Verhältnis von Teilchenzahl und Stoffmenge eines beliebigen Stoffes – gelegentlich auch Loschmidt-Zahl genannt – siehe Avogadro-Konstante.

Die Loschmidt-Konstante N_L ist eine nach Josef Loschmidt benannte physikalische Konstante, die die Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit eines idealen Gases unter Normalbedingungen angibt. Ihr Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit:^[1]

N_L = 2,686 7805 (24) · 10²⁵ m⁻³ = 2,686 780 5 (24) · 10¹⁹ cm⁻³,

wobei die eingeklammerten Ziffern die geschätzte Standardabweichung von 0,000 002 4  angeben.

Zusammenhänge mit anderen Größen

Sie hängt mit der Avogadro-Konstante N_A über das molare Volumen eines idealen Gases unter Normalbedingungen, V_m0, über

$ N_{L}={\frac {N_{A}}{V_{m0}}} $

zusammen. Der Zusammenhang kann auch über die universelle Gaskonstante R, dem Normaldruck p₀ = 101 325 Pa und der Normaltemperatur T₀ = 273,15 K ausgedrückt werden:

$ N_{L}=N_{A}\cdot {\frac {p_{0}}{R\cdot T_{0}}} $

Daraus ergibt sich auch ein Zusammenhang zur Boltzmann-Konstante k:

$ N_{L}={\frac {p_{0}}{k\cdot T_{0}}} $

CODATA benutzt als Größensymbol für die Loschmidt-Konstante n₀.^[1] Das Symbol L wird alternativ zu N_A für die Avogadro-Konstante verwendet - daher sollte diese Form für die Loschmidt-Konstante vermieden werden.

Historisches und Bezeichnung der Konstante

Der italienische Physiker Amedeo Avogadro postulierte 1811, dass gleiche Volumina verschiedener idealer Gase die gleiche Zahl Moleküle enthalten (Avogadrosches Gesetz).

Erstmals gelang es 1865 (nach Avogadros Tod) dem österreichischen Physiker und Chemiker Josef Loschmidt (damals als Joseph Loschmidt bekannt) diese Zahl an Molekülen größenordnungsmäßig zu bestimmen (siehe unten). Loschmidts Schüler und späterer Freund Ludwig Boltzmann benannte die von Loschmidts Ergebnissen abgeleitete Zahl der Moleküle (Teilchenzahl) eines idealen Gases bei Normaldruck und Normaltemperatur pro Volumen als (die physikalische Größe der) Loschmidt-Konstante $ {}_{N_{L}} $. Die Loschmidt-Konstante multipliziert mit der CGS-Einheit Kubikzentimeter (cm³) wird als Loschmidt'sche Zahl (im Gauß'schen CGS-System) $ {}_{\left\{N_{L}\right\}_{\mathrm {CGS} }} $ bezeichnet:

$ N_{L}=\left\{N_{L}\right\}_{\mathrm {CGS} }\,{\frac {1}{\mathrm {cm} ^{3}}} $

1909 (nachdem sowohl Loschmidt als auch Avogadro bereits verstorben waren) schlug der französische Chemiker Jean-Baptiste Perrin die Angabe der Größe nicht als Teilchenzahl pro Volumeneinheit, sondern als Teilchenzahl pro Mol unter dem Namen Avogadro-Zahl vor. Die Avogadro-Zahl (im SI-System) $ {}_{\left\{N_{A}\right\}_{\mathrm {SI} }} $ gibt demnach an, aus wie vielen Teilchen eine Stoffmenge von 1 mol besteht. Im deutschsprachigen Raum wurde jedoch der Name Loschmidt'sche Zahl oder Loschmidt-Zahl weiter verwendet. Jedoch nun mit einer anderen Bedeutung, nämlich als Synonym für Avogadro-Zahl.

Die Avogadro-Zahl im SI-System $ {}_{\left\{N_{A}\right\}_{\mathrm {SI} }} $ multipliziert mit der SI-Einheit mol⁻¹ ist die (physikalische Größe der) Avogadro-Konstante $ {}_{N_{A}} $:

$ N_{A}=\left\{N_{A}\right\}_{\mathrm {SI} }{\frac {1}{\mathrm {mol} }} $

Die Avogadro-Konstante (nicht die Loschmidt-Konstante) wird verwendet, um molekulare auf molare Größen umzuformen. In den CODATA-Empfehlungen für physikalische Konstanten ist die Loschmidt-Konstante seit der CODATA-1986-Publikation enthalten.

Loschmidts Arbeit „Zur Größe der Luftmoleküle“

Die Arbeit, in der Loschmidt 1865 die später nach ihm benannte Loschmidt'sche Zahl ermittelte, wurde 1866 als Artikel „Zur Grösse der Luftmoleküle“ ^[2] veröffentlicht. Sie baute auf der kinetischen Gastheorie und diesbezüglichen Ergebnisse von Clausius, Maxwell und O. E. Meyer auf. Loschmidt definierte dort zwar die Anzahl der in der Volumeinheit enthaltenen Luftmoleküle, einen Zahlenwert hierfür gab er jedoch nicht an. Ziel seiner Arbeit war eine vorläufige Annäherung der Größe des Durchmessers der Luftmoleküle unter Normalbedingungen, hier Loschmidt'scher Moleküldurchmesser s₀ eines idealen Gases genannt. s₀ wurde aus einem sog. „Kondensationskoeffizienten“ und aus dem damals bekannten Wert der mittleren freien Weglänge λ für Luft bei 0 °C errechnet. Die Loschmidt-Konstante N_L kann daraus – wieder über die mittlere freie Weglänge – nach

$ N_{L}={\frac {3}{4\,\pi \,\lambda \,s_{0}^{2}}} $

berechnet werden. Drückt man den heute allgemein empfohlenen Wert der Loschmidt-Konstante bzw. der Avogadro-Konstante als Loschmidt'schen Moleküldurchmesser aus, so beträgt s₀ = 0,361 nm. Loschmidts Ergebnis aus dem Jahr 1865 betrug s₀ = 0,970 nm, also das 2,7-fache des tatsächlichen Wertes. Er machte allerdings auch eine Angabe zur statistischen Unsicherheit seines Ergebnisses. Originalzitat: „Dieser Werth ist freilich nur als ungefähre Annäherung zu nehmen, er ist aber sicher nicht um das zehnfache zu gross oder zu klein“. Damit behält er Recht.

Für die mittlere freie Weglänge standen Loschmidt zwei unterschiedliche Werte zur Verfügung: der von Maxwell ermittelte Wert von λ = 62 nm und ein neuerer, viel größerer und – wie sich später herausgestellt hatte – ungenauerer, von O. E. Meyer publizierter Wert von λ = 140 nm. Heute gilt für die mittlere freie Weglänge eines idealen Gases unter Normalbedingungen λ = 68 nm. Hätte Loschmidt damals Maxwells statt Meyers Wert der mittleren freien Weglänge für seine Berechnung herangezogen, so wäre für s₀ = 0,429 nm herausgekommen. Dieses alternative Ergebnis weist eine verblüffend geringe Ungenauigkeit von nur dem 1,28-fachen des tatsächlichen Wertes auf. Umgerechnet in die Loschmidt-Konstante entspricht N_L ≈ 2,092 2 · 10²⁵ m⁻³, beziehungsweise wie üblicherweise auf das molare Volumen idealer Gase (22,4 l) bezogen (Avogadro-Konstante): N_L ≈ 4,686 · 10²³ m⁻³, das entspricht dem heute gebräuchlichen Wert N_A ≈ 6,022 · 10²³ mol⁻¹.

Quellen

Weblinks

• Joseph Loschmidt, Physicist and Chemist in Physics Today Online, March 2001