Mittlere freie Weglänge

Die mittlere freie Weglänge ist die durchschnittliche Weglänge, die ein Teilchen (z. B. Atom, Molekül, Ion oder Elektron) ohne Wechselwirkung mit anderen Teilchen zurücklegt. Unter einer Wechselwirkung wird dabei jede Art von Energie- bzw. Impulsänderung des Teilchens, also jeder Stoßvorgang verstanden.

Hat ein Teilchenstrom im jeweiligen Medium eine Strecke dieser Länge durchlaufen, haben noch 1/e, also rund ein Drittel der Teilchen, keinen Stoß ausgeführt.

Abschätzung bei Gasen

Für ein einfaches Gas, das aber nicht notwendigerweise ein ideales Gas sein muss, erhält man als Abschätzung für die mittlere freie Weglänge $ \lambda $:

$ \lambda = \frac {1}{ n\sigma} $

mit der Teilchendichte $ n $  (Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit) und dem Wirkungsquerschnitt $ \sigma $. Hierbei wird das vom Stoßquerschnitt des Teilchens in Bewegungsrichtung aufgespannte Zylindervolumen zugrunde gelegt, welches innerhalb der mittleren freien Weglänge im Durchschnitt ein weiteres Teilchen beinhaltet.[1][2]

Für Moleküle erlauben Gleichgewichtsbetrachtungen unter Annahme einer Maxwellschen Gleichgewichtsfunktion eine präzisere Abschätzung:

$ \lambda = \frac {1}{ \sqrt{2}\pi n d^2} $

mit einem Minimalabstand $ d $.[3]

Beispiele

Mittlere freie Weglänge eines Gasmoleküls

Die mittlere freie Weglänge eines Gasmoleküls beträgt in Luft etwa 68 Nanometer unter Standardbedingungen.

Nachfolgende Tabelle listet freie Weglängen für Gasmoleküle bei verschiedenen Drücken auf:

Druckbereich Druck in hPa Moleküle pro cm³ mittlere freie Weglänge
Umgebungsdruck 1013 2,7·1019 68 nm
Grobvakuum 300 … 1 1019 … 1016 0,1 … 100 μm
Feinvakuum 1 … 10-3 1016 … 1013 0,1 … 100 mm
Hochvakuum (HV) 10-3 … 10-7 1013 … 109 10 cm … 1 km
Ultrahochvakuum (UHV) 10-7 … 10-12 109 … 104 1 km … 105 km
extr. Ultrahochv. (XHV) <10-12 <104 >105 km

Mittlere freie Weglänge von Elektronen

Die mittlere freie Weglänge von Elektronen ist eine wichtige Größe bei Anwendungen von Elektronenstrahlen im Vakuum (z. B. bei bestimmten oberflächensensitiven analytischen Methoden oder in Braunschen Röhren). Bei Elektronen ist die mittlere freie Weglänge abhängig von der kinetischen Energie.

Im Festkörper kann sie für die meisten Metalle mit der „Universellen Kurve“ abgeschätzt werden. Bei Elektronenenergien um 100 eV ist sie für die meisten Metalle am geringsten, da hier Prozesse im Festkörper, (z. B. Plasmonen, …) angeregt werden können. Bei höheren und niedrigeren Energien sind die mittleren freien Weglängen im Festkörper größer.

Die mittlere freie Weglänge beeinflusst in gasförmigen Isolierstoffen (z. B. Schwefelhexafluorid) die elektrische Durchschlagfestigkeit.

Werden Elektronen im Impulsraum betrachtet (siehe Fermi-Kugel), so ist es schwer mit einer Länge zu argumentieren, und man betrachtet daher die mittlere freie Flugzeit.

Einzelnachweise

  1. Frederick Reif: Statistische Physik. Berkeley Physik Kurs Band 5, vieweg, Braunschweig 1981, ISBN 3-528-18355-1.
  2. Dieter Hänel: Molekulare Gasdynamik. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-44247-2.
  3. William C. Hinds: Aerosol Technology: Properties, Behavior, and Measurement of Airborne Particles. Wiley-Interscience, New York 1999, ISBN 0-471-19410-7.

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