Ladungsdichte

Die elektrische Ladungsdichte ist eine physikalische Größe aus der Elektrodynamik, die eine Ladungsverteilung beschreibt. Da es sowohl positive als auch negative Ladungen gibt, sind für die Ladungsdichte ebenfalls sowohl positive wie negative Werte möglich.

Die Oberflächenladungsdichte σ (Sigma) auf der rechten Hälfte der Metallkugel ist negativ, weil die Elektronen aufgrund der Abstoßung durch die links eingezeichnete negative Ladung dorthin ausweichen; auf der linken Halbkugel ist die Oberflächenladungsdichte positiv, da dort nun Elektronen fehlen.

Da Ladungen auch an Oberflächen oder etwa entlang eines dünnen Drahtes verteilt sein können, kann die Ladungsdichte beschreiben:

• die Ladung pro Volumen (Raumladungsdichte ρ)
• die Ladung pro Fläche (Oberflächenladungsdichte σ)
• die Ladung pro Länge (Linienladungsdichte λ) .

Die erreichbare Oberflächenladungsdichte wird durch Koronaentladung in die umgebende Luft begrenzt, wenn die maximale Feldstärke von 10⁵ V/m überschritten wird:

$ \sigma _{\mathrm {max} }=2\cdot E_{\mathrm {max} }\cdot \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\approx 1,8\cdot 10^{-6}\mathrm {As/m^{2}} . $

Damit trägt jeder negativ geladene Quadratzentimeter die Überschussladung 1,8·10^-10 As, was 1,1·10⁹ frei beweglichen Elektronen entspricht. Etwa eine Million mal mehr Elektronen sind an die Atomrümpfe der Metalloberfläche gebunden (Siehe auch Influenz#Anzahl der beteiligten Elektronen).

Ähnliche Größen

Eine mit der Oberflächenladungsdichte σ korrespondierende Größe ist die elektrische Flussdichte $ {\vec {D}} $ (auch elektrische Erregung, dielektrische Verschiebung oder Verschiebungsdichte genannt), ein senkrecht auf der betreffenden Fläche stehender Vektor; dagegen ist σ ein Skalar (und unter bestimmten Umständen gleich dem Betrag $ |{\vec {D}}| $).

Nicht mit der Ladungsdichte zu verwechseln sind außerdem die Ladungsträgerdichte, also die Anzahl der Protonen, Elektronen usw. pro Raum-, Flächen- oder Längeneinheit, sowie die in der Dichtefunktionaltheorie berechnete Elektronendichte.

Definition

Die Definition der Raumladungsdichte ähnelt der der Massendichte:

$ \rho ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\Leftrightarrow Q=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V $,

wobei Q die elektrische Ladung und V das Volumen ist.

Bei der Flächen- und der Linienladungsdichte wird entsprechend nach der Fläche A bzw. nach der Länge l abgeleitet:

$ \sigma ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} A}}\Leftrightarrow Q=\int _{A}\sigma ({\vec {r}})\,\mathrm {d} A $

$ \lambda ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} l}}\Leftrightarrow Q=\int _{l}\lambda ({\vec {r}})\,\mathrm {d} l. $

Diskrete Ladungsverteilung

Besteht die Ladung in einem Volumen aus $ N $ diskreten Ladungsträgern (wie z. B. Elektronen), so kann die Ladungsdichte mit Hilfe der Delta-Distribution ausgedrückt werden:

$ \rho ({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\cdot \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}) $

mit

• der Ladung $ q_{i} $ und
• dem Ort $ {\vec {r}}_{i} $ des $ i $-ten Ladungsträgers.

Tragen alle Ladungsträger die gleiche Ladung $ q $ (bei Elektronen gleich der negativen Elementarladung: $ q=-e $), so kann man obige Formel mit Hilfe der Ladungsträgerdichte $ n({\vec {r}}) $ vereinfachen:

$ {\begin{aligned}\rho ({\vec {r}})&=q\cdot \sum _{i=1}^{N}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i})\\&=q\cdot n({\vec {r}}).\end{aligned}} $

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential hängt gemäß der Poisson-Gleichung der Elektrostatik

$ \Delta \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }} $

nur von der Ladungsdichte ab. Hierbei bezeichnet $ \varepsilon $ die Permittivität.