Innere Energie


Innere Energie

Die innere Energie U – auch thermodynamische Energie genannt – ist eine physikalische Größe. Ihre Änderung ΔU ist gleich der Summe der Wärme Q, die einem System zugeführt wird, und der Arbeit W, die am System verrichtet wird.[1]

$ \mathrm {\ \Delta U = Q + W} $

Diese Gleichung besagt, dass sich die innere Energie eines Systems erhöht, wenn ihm Wärme zugeführt oder auf das System Druck ausgeübt wird, da die von außen aufgebrachte Energie im System gespeichert wird.

Definition der inneren Energie

Je mehr über den Aufbau der Materie bekannt wurde, desto mehr wurden die Ursachen für die innere Energie erkannt. Physikalisch gesprochen hat man es mit einem Vielteilchensystem zu tun, das eine abzählbare Folge von Energiewerten, $ E_i $, besitzt. Die innere Energie, meist als $ U $ bezeichnet, ist der thermische Mittelwert dieser Energiewerte, $ U\equiv\langle E_i\rangle =\sum\limits_i\,p_i\cdot E_i $, wobei die $ p_i $ Wahrscheinlichkeiten sind. Im Einzelnen unterscheidet man den physikalisch-thermischen, den chemischen und den kernphysikalischen Anteil der inneren Energie sowie die Wechselwirkungen mit äußeren Feldern.

Zusammensetzung der inneren Energie

Die Summe aus Lage-, Bewegungs- und Spannenergie ist bei reibungsfreien Vorgängen in einem abgeschlossenen System konstant.

Änderung der inneren Energie in thermodynamischen Prozessen

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt eine Änderung der inneren Energie als Summe der Wärmezufuhren und -entzüge sowie der verrichteten Arbeit am entsprechenden (geschlossenen) System:

$ \qquad \mathrm dU= \delta Q + \delta W = TdS-pdV. $

Hier schreibt man auf der rechten Seite jeweils $ \delta $ statt $ \mathrm d $, weil es sich nicht wie bei $ {\rm d}U $ um totale Differentiale handelt, da Q und W Prozessgrößen sind, U dagegen eine Zustandsgröße ist.

Folglich

$ \qquad \mathrm \Delta U= Q + W=\int{TdS}-\int{pdV} $

und bei stationären Kreisprozessen mit $ \qquad \mathrm \Delta U= 0 $

$ 0= Q_1-\left|Q_2\right| + W_1-\left|W_2\right|\,, $

wobei die mit 1 indizierten Energien zugeführt werden (positiv) und die mit 2 indizierten abgeführt (negativ). (vergl. Energiebilanz für Kreisprozesse).

Bei variabler Stoffmenge hat man das totale Differential

$ \qquad \mathrm dU= T \mathrm dS - p \mathrm dV+\mu \mathrm dN\,, $

mit der absoluten Temperatur T, der Entropie S, dem Druck p und dem chemischen Potential $ \mu $. Also: $ \oint\limits_W{\rm d}U=0 $ auf jedem geschlossenen Weg $ W $, wie immer man die Differentiale $ \mathrm dS $, $ \mathrm dV $ und $ \mathrm dN $ wählt.

Bisher wurde eine einzige Stoffsorte vorausgesetzt ($ K=1 $). Hat man es mit mehreren Stoffsorten zu tun, verallgemeinert sich die differentielle Aussage wie folgt:

Innere Energie $ U $ und ihre natürlichen Variablen, Entropie $ S $, Volumen $ V $ und Stoffmenge $ N $, sind allesamt extensive Zustandsgrößen. Die innere Energie ändert sich bei einer Skalierung des thermodynamischen Systems proportional zur entsprechenden Zustandsgröße (S,V). Der Proportionalitätsfaktor ist $ \alpha $. Daraus folgt:

$ U(\alpha \cdot S,\alpha \cdot V, \alpha \cdot (N_1,..., N_K)) = \alpha \cdot U(S,V,N_1,..., N_K) $

mit $ N_i $ ($ {i=1,..., K} $) : Stoffmenge der Teilchen vom Typ $ i $. Eine solche Funktion wird homogene Funktion ersten Grades genannt.

Mit dem Euler-Theorem und dem ersten Hauptsatz folgt die Euler-Gleichung für die innere Energie:[2]

$ U = TS - pV + {\sum_{i=1}^{K}}\, \mu_i N_i. $

In der Chemie für ein ideales Gas gilt der Gleichverteilungssatz (innere Energie verteilt auf jeden Freiheitsgrad mit je $ \frac{1}{2}\ k_B T $). Für ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden und $ N $ Teilchen ergibt sich:

$ U=\frac{3}{2}\ N k_B T $ oder für $ n $ Mol eines idealen Gases $ U=\frac{3}{2}\ n R T. $

$ k_B $ bezeichnet hier die Boltzmann-Konstante, $ R $ die ideale Gaskonstante

Übereinkunft:

Wird von einem System die Wärmemenge $ Q $ aufgenommen, so ist $ Q $ positiv.
Wird an einem System die Arbeit $ W $ verrichtet, so ist $ W $ positiv,

daraus folgt, dass die innere Energie $ U $ größer wird, wenn $ Q $ oder $ W $ oder beide erhöht werden und umgekehrt.

Einzelnachweise

  1.  Eintrag: internal energy. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.I03103.
  2. Greiner, Theor. Physik Bd. 9, Gleichung 2.57

Weblinks

Wikibooks Wikibooks: Spezifische Innere Energie des Wassers – Lern- und Lehrmaterialien