Guggenheim-Quadrat

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Guggenheim-Quadrat

Das Guggenheim-Quadrat oder Guggenheim-Schema ist ein Hilfsmittel, um einige einfache, aber grundlegende Beziehungen der Thermodynamik aus dem Gedächtnis heraus aufzustellen. Sie lassen sich sowohl auf die Maxwell-Beziehungen als auch auf die charakteristischen Funktionen anwenden.

Verwendung

Charakteristische Funktionen

Um das Differential eines der thermodynamischen Potentiale zu erhalten, ist wie folgt vorzugehen:

  1. Auswahl eines der vier sich an den Kantenmitten befindlichen thermodynamischen Potentiale ($ U $, $ H $, $ F $, $ G $). Für die Relation des Großkanonischen Potentials $ \Omega $ bietet sich der Vergleich zur sehr ähnlichen Freien Energie an.
    • Beispiel: Wir suchen das totale Differential der inneren Energie $ U $, also $ dU $.
  2. Die beiden dem Potential an den Ecken gegenüberliegenden Symbole stellen die Koeffizienten der Differentiale dar, die sich an den Ecken neben dem gesuchten Potential befinden.
    • Im Beispiel liegen an den gegenüberliegenden Ecken von $ U $ die Größen $ p $ (Druck) und $ T $ (Temperatur). Das vorläufige Zwischenergebnis ist damit $ dU = p [\text{Differential}] + T [\text{Differential}] $.
    • In der $ p $ gegenüberliegenden Ecke befindet sich $ V $ (Volumen). Dies ist das zu p gehörige Differential; Zwischenergebnis: $ dU = p $$ dV $$ + T [\text{Differential}] $.
    • Analog zum vorigen Schritt befindet sich gegenüber $ T $ als zugehöriges Differential $ S $ (Entropie); $ dU = p dV + T $$ dS $.
  3. Alle Koeffizienten, die sich auf der linken Seite des Quadrates befinden, erhalten ein negatives Vorzeichen.
    • Da sich $ p $ auf der linken Seite des Vierecks befindet, erhält es ein Vorzeichen. Zwischenergebnis: $ dU = $$ - $$ p dV + T dS $. (Bemerkung: $ S $ liegt zwar auch links, es kommt aber nur als Differential vor und erhält daher kein Vorzeichen. Analog ist bei der Suche nach $ dH $ kein Vorzeichen vor den $ H $-Term zu stellen, da es sich auch hier nicht um einen Koeffizienten handelt.)
  4. Zum Schluss wird schließlich stets noch $ \mu dN $ addiert.
    • Im Beispiel ergibt sich so das Endergebnis $ dU = - p dV + T dS + \mu dN $.

Maxwell-Relationen

  1. Auszuwählen sind zwei Größen, die an den Ecken einer Seite des Quadrates liegen.
    • Beispiel: Gesucht ist eine Maxwell-Relation mit $ S $ und $ p $, welche die Enden der linken Kante bilden. Diese bilden den Differentialquotienten der linken Seite der Maxwell-Relation, also $ dS/dp $ = [...].
  2. Die die gegenüberliegende Seite begrenzenden Größen bilden den Differentialquotienten der rechten Seite der gesuchten Gleichung. Dabei ist darauf zu achten, dass sie in gleicher Richtung abgelesen werden, wie die andere Kante.
    • Gegenüber von $ S $, $ p $ befinden sich $ V $ und $ T $. Wir haben $ dS/dp $ gebildet, also "obere Ecke nach unterer Ecke abgeleitet". Dementsprechend muss auch hier "von oben nach unten" abgeleitet werden (analoges ergibt sich für links/rechts, etwa bei der Suche nach $ dS/dV $). Zwischenergebnis ist also $ dS/dp = $$ dV/dT $.
  3. Differentialquotienten, die sowohl $ S $ als auch $ p $ enthalten, erhalten ein Vorzeichen, da beide (!) Symbole an der Kante mit dem Minuszeichen liegen.
    • Die linke Seite erhält demnach ein Vorzeichen. Das Endergebnis ist also $ -dS/dp = dV/dT $.
    • Die konstant gehaltene Variable einer Seite ist stets im Nenner der anderen Seite wiederzufinden.

Merksprüche

Zur einfacheren Anwendung sei folgende beispielhafte Auswahl an mehrheitlich humoristischen Merksprüchen angegeben, welche auf jeweils unterschiedliche Art und Weise gelesen die Buchstabenreihenfolge des Quadrats wiedergeben:

  • Sehe und verstehe, hier finden Physiker gute Thermodynamik.
  • Good physicists have studied under very fine teachers.
  • Unheimlich viele Forscher trinken gerne Pils hinterm Schreibtisch.
  • Schon unsere Vorfahren favorisierten Trinkgelage gegenüber physikalischen Herleitungen.
  • Suff und Völlerei, haben für Papa große Tradition.
  • Suv(Suff) hilft Fysikern pei großen Taten.
  • SUV-Fahrer tragen gerne pinke Hemden.
  • Unser Vater findet tausend gute Pornos hinterm Schrank.

Mit A anstatt F für die freie Energie:

  • Schon unter Varus hatten alle progressiven Germanen Taschenrechner.
  • Good physicists have studied under very awesome teachers.

Mit E anstatt U für die innere Energie:

  • Gute Physiker haben stets eine Vorliebe für Thermodynamik.

Merkhilfen für drei Freiheitsgrade

Thermodynamisches Oktaeder

Das Guggenheim Quadrat beschreibt Systeme mit zwei Freiheitsgraden. Für drei Freiheitsgrade wurden Merkhilfen in From der geometrischen Figuren Oktaeder[1][2] und Kuboktaeder[3] beschrieben. Bei diesen sind, im Gegensatz zum Quadrat, die thermodynamischen Potentiale (G, U, H, A, etc.) keine Kanten sondern Flächen.

Weblinks

Literatur

Einzelnachweise

  1. L. T. Klauder, American Journal of Physics, 1968, 36(6), 556-557 doi:10.1119/1.1974977
  2. James M. Phillips, J. Chem. Educ., 1987, 64(8), 674-675 doi:10.1021/ed064p674
  3. Ronald. F. Fox, J. Chem. Educ., 1976, 53(7), 441-442 doi:10.1021/ed053p441

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