Zeigerdiagramm

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Das Zeigerdiagramm oder Zeigerbild ist ein geometrisches Hilfsmittel der Schwingungslehre. Es stellt eine sinusförmige Schwingung mit konstanter Amplitude und Phase als Projektion einer Kreisbewegung dar und beruht auf folgendem Zusammenhang:

Für einen Punkt in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem ist die waagerechte Koordinate der Kosinus und die senkrechte Koordinate der Sinus des Winkels φ gegenüber der x-Achse, jeweils multipliziert mit dem Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung.

Die Schwingungsgröße stellt man als Zeiger z in der komplexen Gaußschen Zahlenebene dar.

Real- und Imaginärteil im Zeigerdiagramm
$ z = |z| \cdot ( \cos (\varphi) + i \cdot \sin (\varphi) ) $

mit i als die imaginäre Einheit.

Der Realteil Re ist:

$ \operatorname{Re} (z) = |z| \cdot \cos (\varphi) $.

Der Imaginärteil Im ist folgendermaßen definiert:

$ \operatorname{Im} (z) = |z| \cdot \sin (\varphi) $.

Wenn man sich nun einen Punkt denkt, der im Abstand r den Ursprung umkreist, wobei ω seine Winkelgeschwindigkeit bedeutet (= Kreisfrequenz ω = 2 π f, wenn f die Frequenz ist), so hat er in der Zeit t den Winkel φ = ω t zurückgelegt. Folglich werden sein Real- und Imaginärteil im Laufe der Zeit eine Kosinuskurve bzw. eine Sinuskurve beschreiben.

Zeigerdiagramm.PNG

Man beschreibt dann eine physikalische Größe, die im Laufe der Zeit eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω vollführt, durch einen rotierenden Zeiger, der mit dieser Winkelgeschwindigkeit umläuft und dessen Länge die Amplitude der Schwingung ist. Die tatsächliche physikalische Messgröße ist dann die Projektion des Zeigers auf eine der Achsen, zweckmäßigerweise auf die reelle Achse, da Messgrößen reell sind.

(Um die Zeitachse waagerecht zeichnen zu können, ist das Diagramm im Folgenden um 90° gedreht zu denken.)

Das Zeigerdiagramm ermöglicht eine einfache Beschreibung von Phasenverschiebungen zwischen Schwingungen. Wenn Schwingungen mit der gleichen Frequenz f erfolgen, können sie sich noch in der Amplitude (= Länge des Zeigers) und im Phasenwinkel unterscheiden. Letzterer gibt an, um welchen Winkel sie gegenüber einer Sinuskurve verschoben sind.

Zwei Schwingungen, die sich im Phasenwinkel um Δφ unterscheiden, stellt man im Zeigerdiagramm durch zwei Zeiger dar, die um ebendiesen Winkel gegeneinander verdreht sind.

Zeiger Phase Minus.PNG

Die blaue Schwingung läuft der violetten um 90° = π/2 in der Phase nach (Beachte: Weiter rechts auf der t-Achse bedeutet später!).

Zeiger Phase Plus.PNG Die blaue Schwingung läuft der violetten um 90° = π/2 in der Phase voraus

Zeigerdiagramm fur R-C-L-Schaltung

Phasenverschiebungen treten zum Beispiel in der Wechselstromlehre zwischen Strom und Spannung auf, wenn Spulen oder Kondensatoren in einer Schaltung enthalten sind. Strom und Spannung werden dann im Zeigerdiagramm dargestellt, wo sich auch bei komplizierteren Schaltungen Gesamtstrom oder Gesamtspannung durch Addition der Zeiger bestimmen lassen. Hieraus ergibt sich dann geometrisch sowohl die Amplitude als auch die Phasenlage der resultierenden Schwingung. Das ohmsche Gesetz ($ R=\frac{U}{I} $) kann auf komplexe Zahlen angewendet werden und führt dann zu einer Beschreibung von Spulen und Kondensatoren durch komplexe Widerstände.

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