Symmetrische Gruppe

Symmetrische Gruppe

Ein Cayleygraph der sym. Gruppe S4
Verknüpfungstafel der sym. Gruppe S3
(als Multiplikationstafel der Permutationsmatrizen)

Die symmetrische Gruppe $ S_{n} $ (oder $ {\mathfrak {S}}_{n} $ oder $ Sym_{n} $) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer $ n $-elementigen Menge besteht. Man nennt $ n $ den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe $ S_{n} $ ist endlich und besitzt die Ordnung $ n! $. Sie ist für $ n>2 $ nicht abelsch.

Notation, Zyklenschreibweise

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation $ p $ das Element $ 1 $ auf $ p_{1} $, das Element $ 2 $ auf $ p_{2} $ usw. ab, so kann man hierfür

$ p={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots \\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots \end{pmatrix}} $

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation $ p^{-1} $, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Sind $ p_{1},p_{2},\ldots p_{k} $ verschieden, geht $ p_{1} $ in $ p_{2} $, $ p_{2} $ in $ p_{3} $, ..., $ p_{k} $ in $ p_{1} $ über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

$ p={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}}, $

und nennt dies einen Zyklus der Länge $ k $. Zwei Zyklen der Länge $ k $ beschreiben genau dann die gleiche Abbildung, wenn der eine durch zyklische Vertauschung seiner Einträge $ p_{k} $ zum anderen wird. Zum Beispiel gilt $ {\begin{pmatrix}1&5&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&3&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}. $

Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen $ {\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}} $ und $ {\begin{pmatrix}q_{1}&q_{2}&q_{3}&\dots &q_{l}\end{pmatrix}} $ disjunkt, wenn $ p_{i}\neq q_{j} $ für alle $ i $ und $ j $ gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf zyklische Vertauschung der Einträge innerhalb von Zyklen und die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein: disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

  • Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Unabhängig davon, wie man das Produkt wählt, ist diese Anzahl entweder immer gerade oder immer ungerade und wird durch das Signum der Permutation beschrieben. Die Menge der geradzahligen Permutationen bildet eine Untergruppe der $ S_{n} $, die alternierende Gruppe $ A_{n} $.
  • Auch die beiden Elemente $ {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}} $ und $ {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\end{pmatrix}} $ erzeugen die symmetrische Gruppe $ S_{n} $.[1] Allgemeiner kann auch ein beliebiger $ n $-Zyklus zusammen mit einer beliebigen Transposition zweier aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus gewählt werden.
  • Falls $ n\neq 4 $ lässt sich zu einem beliebigen Element (nicht die Identität) ein Zweites derart wählen, dass beide Elemente die $ S_{n} $ erzeugen.[2]

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie in der Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen denselben Typ aufweisen, das heißt wenn die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen übereinstimmen. In dieser Darstellung bedeutet die Konjugation eine Umnummerierung der Zahlen, die in den Zykeln stehen.

Jede Konjugationsklasse der $ S_{n} $ entspricht daher umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von $ n $ und die Anzahl ihrer Konjugationsklassen ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion an der Stelle $ n,\,P(n). $

Zum Beispiel liegen die Elemente $ {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}7&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}\in S_{7} $ in der Konjugationsklasse die der Zahlpartition $ 7=3+2+1+1 $ von 7 zugeordnet ist und die $ S_{7} $ hat $ P(7)=15 $ verschiedene Konjugationsklassen.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe $ S_{n} $ besitzt außer den trivialen Normalteilern $ \{id\} $ und $ S_{n} $ nur die alternierende Gruppe $ A_{n} $ als Normalteiler, für $ n=4 $ zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe $ V $.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe $ G $ zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe $ S_{n} $ isomorph, wobei $ n $ nicht größer als die Ordnung von $ G $ ist.

Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen $ p_{1} $ und $ p_{2} $ wird als $ p_{2}\circ p_{1} $ geschrieben: zuerst wird die Permutation $ p_{1} $ ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation $ p_{2} $ angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:

$ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}}. $

In Zyklenschreibweise lautet dies:

$ {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&4\end{pmatrix}}. $

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für $ n>2 $ ist die symmetrische Gruppe $ S_{n} $ nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:

$ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\3&2&1&\ldots \end{pmatrix}}\ \neq $
$ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\1&3&2&\ldots \end{pmatrix}} $

Siehe auch

  • Symmetrische Gruppe vom Grad 3
  • Young-Tableau

Einzelnachweise

  1. Vgl. Seite 2 oben in (PDF)
  2. I. M. Isaacs and Thilo Zieschang, “Generating Symmetric Groups,” The American Mathematical Monthly 102, no. 8 (October 1995): 734-739.

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