Spinor

Ein Spinor ist in der Mathematik, und dort speziell in der Differentialgeometrie, ein Vektor in einer kleinsten Darstellung $(\rho ,V)$ einer Spin-Gruppe. Die Spin-Gruppe ist isomorph zu einer Teilmenge einer Clifford-Algebra. Jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen, komplexen oder quaternionischen Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.

Ein Spinor ist in der Physik meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe $\mathrm{Spin}(1,3)$, die zur Gruppe der Lorentz-Transformationen $\mathrm{SO}(1,3)$ des Minkowski-Raums gehört. Wichtig ist hier vor allem das Drehverhalten.

Spinoren der Quantenphysik

Struktur der Gruppe Spin(1,3)

Die Gruppe $\mathrm{Spin}(1,3)$ ist eine Teilmenge des geraden Teils $C{\ell }^0(1,3)$ der Clifford-Algebra $C\ell (1,3)$. Die gesamte Algebra wird von den vier kanonischen Basisvektoren ${\mathbf{𝐞}}_0$, ${\mathbf{𝐞}}_1$, ${\mathbf{𝐞}}_2$, ${\mathbf{𝐞}}_3$ des 4-dimensionalen Minkowski-Raums ${\mathrm{M}}^4$ mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis) $Q(\overrightarrow{x})=(x^0{)}^2-(x^1{)}^2-(x^2{)}^2-(x^3{)}^2$ erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener Basisvektoren; für ihre Quadrate gilt $v^2=-Q(v)$, also $({\mathbf{𝐞}}_0{)}^2=-1$, $({\mathbf{𝐞}}_1{)}^2=({\mathbf{𝐞}}_2{)}^2=({\mathbf{𝐞}}_3{)}^2=1$.

Die Unteralgebra $C{\ell }^0(1,3)$ der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die ${\mathbf{𝐞}}_0$ enthalten: ${\mathbf{𝐟}}_1:={\mathbf{𝐞}}_0{\mathbf{𝐞}}_1$, ${\mathbf{𝐟}}_2:={\mathbf{𝐞}}_0{\mathbf{𝐞}}_2$, ${\mathbf{𝐟}}_3:={\mathbf{𝐞}}_0{\mathbf{𝐞}}_3$. Diese antikommutieren ebenfalls; ihre Quadrate haben den Wert 1.

Die fehlenden zweifachen Produkte bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden Produkten der ${\mathbf{𝐟}}_k$ erzeugt wird:

${\mathbf{𝐠}}_1:=-{\mathbf{𝐟}}_2{\mathbf{𝐟}}_3=-{\mathbf{𝐞}}_2{\mathbf{𝐞}}_3$

${\mathbf{𝐠}}_2:=-{\mathbf{𝐟}}_3{\mathbf{𝐟}}_1=-{\mathbf{𝐞}}_3{\mathbf{𝐞}}_1$

${\mathbf{𝐠}}_3:=-{\mathbf{𝐟}}_1{\mathbf{𝐟}}_2=-{\mathbf{𝐞}}_1{\mathbf{𝐞}}_2$

Die von den ${\mathbf{𝐠}}_k$ erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der Quaternionen. Mit Rücksicht auf die Pauli-Matrizen identifizieren wir ${\mathbf{𝐠}}_1=\mathrm{j}$, ${\mathbf{𝐠}}_2=\mathrm{k}$, ${\mathbf{𝐠}}_3=\mathrm{i}$; Genaueres weiter unten.

Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement

$\omega ={\mathbf{𝐞}}_0{\mathbf{𝐞}}_1{\mathbf{𝐞}}_2{\mathbf{𝐞}}_3=-{\mathbf{𝐟}}_1{\mathbf{𝐠}}_1=-{\mathbf{𝐟}}_2{\mathbf{𝐠}}_2=-{\mathbf{𝐟}}_3{\mathbf{𝐠}}_3.$

Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt ${\omega }^2=-1$.

Isomorphe Matrixalgebra

Es ist leicht zu sehen, dass $(\omega ,{\mathbf{𝐠}}_1,{\mathbf{𝐠}}_2)$ die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als $C{\ell }^1(1,3)={\mathbf{𝐞}}_{0}C{\ell }^0(1,3)$ zu erhalten ist. Insgesamt gilt:

• $(\omega ,{\mathbf{𝐞}}_0)$ und $({\mathbf{𝐠}}_1,{\mathbf{𝐠}}_2)$ erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
• diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
• spannen zusammen die gesamte Algebra auf.

Dies liefert den Isomorphismus $\phi$

$C\ell (1,3)\simeq \mathbb{ℍ}{\otimes }_{\mathbb{ℝ}}\mathbb{ℍ}$,

der eingeschränkt einen Isomorphismus

$C{\ell }^0(1,3)\simeq \mathbb{ℂ}{\otimes }_{\mathbb{ℝ}}\mathbb{ℍ}$

ergibt.

Es sei im folgenden immer $\mathbb{ℂ}=\mathbb{ℝ}[i]$, wobei $i$ eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie folgt definiert werden:

$\phi (\omega ):=\mathrm{i}\otimes 1,\phi ({\mathbf{𝐞}}_0):=\mathrm{k}\otimes 1,$

$\phi ({\mathbf{𝐠}}_1):=1\otimes \mathrm{j},\phi ({\mathbf{𝐠}}_2):=1\otimes \mathrm{k},\phi ({\mathbf{𝐠}}_3):=1\otimes \mathrm{i}.$

Als Folge daraus ergeben sich mit ${\mathbf{𝐟}}_k=\omega {\mathbf{𝐠}}_k$ und ${\mathbf{𝐞}}_k=-{\mathbf{𝐞}}_0{\mathbf{𝐟}}_k$

$\phi ({\mathbf{𝐟}}_1):=\mathrm{i}\otimes \mathrm{j},\phi ({\mathbf{𝐟}}_2):=\mathrm{i}\otimes \mathrm{k},\phi ({\mathbf{𝐟}}_3):=\mathrm{i}\otimes \mathrm{i},$

$\phi ({\mathbf{𝐞}}_1):=-\mathrm{j}\otimes \mathrm{j},\phi ({\mathbf{𝐞}}_2):=-\mathrm{j}\otimes \mathrm{k},\phi ({\mathbf{𝐞}}_3):=-\mathrm{j}\otimes \mathrm{i}.$

Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren

Es gibt einen Isomorphismus $\rho :\mathbb{ℍ}{\otimes }_{\mathbb{ℝ}}\mathbb{ℍ}\to {\text{Hom}}_{\mathbb{ℝ}}(\mathbb{ℍ},\mathbb{ℍ})$, der einem Tensorprodukt $a\otimes b$ die Abbildung $x\mapsto \rho (a\otimes b)(x):=bx\overline{a}$ zuordnet. Damit ist ${\rho }_M:=\rho \circ \varphi$ eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana.

Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren

Wir definieren eine bijektive Abbildung $S:{\mathbb{ℂ}}^2\to \mathbb{ℍ}$ als $S(z^1,z^2):=\mathrm{k}{\overline{z}}^1+{\overline{z}}^2$. Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d. h. $S(w{z}^1,w{z}^2):=S(z^1,z^2)\overline{w}$. Sei $\theta :=S^{-1}$ die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir

${\rho }_W:C{\ell }^0(1,3)\to M_2(\mathbb{ℂ})$, durch ${\rho }_W(c)(z^1,z^2):=(\theta \circ {\rho }_M(x)\circ S)(z^1,z^2)$,

d. h. einem Element $\phi (c)=w\otimes q$ aus $\mathbb{ℂ}{\otimes }_{\mathbb{ℝ}}\mathbb{ℍ}$ wird die Abbildung, die durch

$\rho (w\otimes q)(S(z^1,z^2))=qS(z^1,z^2)\overline{w}=qS(z^{1}w,z^{2}w)$

gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z. B.

${\rho }_W({\mathbf{𝐟}}_1)(z^1,z^2)=\theta (\rho (-\mathrm{i}\otimes \mathrm{j})(S(z^1,z^2))=\theta (\mathrm{j}\mathrm{k}{\overline{z}}^1\mathrm{i}+\mathrm{j}{\overline{z}}^2\mathrm{i})=(-z^2,-z^1)$.

Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix ${\sigma }_1$, analog gilt ${\mathbf{𝐟}}_2\mapsto {\sigma }_2$ und ${\mathbf{𝐟}}_3\mapsto {\sigma }_3$.

Somit ist ${\rho }_W$ eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit auch der $\mathrm{Spin}(1,3)$-Gruppe. Diese Darstellung von $C{\ell }^0(1,3)$ heißt Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl (siehe auch: Pauli-Matrizen).

Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung ${\overline{\rho }}_W(c)(z):=(\overline{\theta }\circ {\rho }_M(x)\circ \overline{S})(x)$, wobei $\overline{S}(z_1,z_2)=\mathrm{j}S(z_1,z_2)={\overline{z}}^1\mathrm{j}-{\overline{z}}^2$

Weyl-, Dirac- und Majorana-Spinoren

Eine treue Darstellung ist eine Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.

Dazu folgendes Lemma: Sind $A$, $B$ selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf $V$ mit $A^2=B^2=I$ und $AB=-BA$, so zerfällt $V$ in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume $V_{+}:=\ker (I-A)$ und $V_{-}:=\ker (I+A)=B{V}_{+}$. Das Tripel $(V,A,B)$ lässt sich isomorph abbilden auf

$V={\mathbb{𝕂}}^2\otimes V_{+},A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes I_{+},B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes I_{+}.$

$I_{+}$ ist die Identität auf $V_{+}$. Das auftretende Tensorprodukt kann hier auch als das Kronecker-Produkt von Matrizen aufgefasst werden.

Weyl-Spinoren

Eine Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl, ist eine kleinste komplexe Darstellung von $\mathrm{Spin}(1,3)$. Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden Unteralgebra $C{\ell }^0(1,3)$.

Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung $(\rho ,V)$ von $C{\ell }^0(1,3)$ in einen hermiteschen Vektorraum $V$ vorliegen. Dabei sind die Bilder $\rho ({\mathbf{𝐟}}_k)$ (der Kürze wegen lassen wir im weiteren das $\rho$ weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von $V$ in sich.

$A:={\mathbf{𝐟}}_3$ und $B:={\mathbf{𝐟}}_1$ erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen Darstellung

$V={\mathbb{ℂ}}^2\otimes V_{+}$ mit ${\mathbf{𝐟}}_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes I_{+}$ und ${\mathbf{𝐟}}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes I_{+}$

übergehen.

Um die Gestalt von ${\mathbf{𝐟}}_2$ einzuschränken, betrachten wir das Produkt ${\mathbf{𝐟}}_1{\mathbf{𝐟}}_2$ und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln

$(f_1{f}_2)f_3=f_3(f_1{f}_2)$ und $(f_1{f}_2)f_1=-f_1(f_1{f}_2)$

sich folgende Gestalt zwingend ergibt

${\mathbf{𝐟}}_1{\mathbf{𝐟}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes {\mathbf{𝐠}}_{12}$ mit $({\mathbf{𝐠}}_{12}{)}^2=-1.$

Da der Vektorraum $V_{+}$ komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume $V_{++}$ und $V_{+-}$ aufspalten, auf welchen ${\mathbf{𝐠}}_{12}$ wie $\mathrm{i}$ oder $\mathrm{-}\mathrm{i}$ wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die schon genannten Pauli-Matrizen, denn wenn ${\mathbf{𝐠}}_{12}=\mathrm{i}$, so ist

${\mathbf{𝐟}}_2=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)\otimes I_{+}.$

Im minimalen Fall ist $V_{++}=\mathbb{ℂ}$, $V_{+-}=\{0\}$ oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte Weyl-Spinor-Darstellungen.

Anwendung: siehe Weyl-Gleichung

Dirac-Spinoren

In der Quantenelektrodynamik bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie wird der Dirac-Operator definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul Dirac, ist die kleinste komplexe Darstellung von $C\ell (1,3)$.

Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von ${\mathbf{𝐞}}_1$. Es kommutiert mit ${\mathbf{𝐟}}_3$ und antikommutiert mit ${\mathbf{𝐟}}_1$, wie oben stellen wir fest, dass

${\mathbf{𝐞}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes {\mathbf{𝐠}}_1$ mit $({\mathbf{𝐠}}_1{)}^2=1.$

Man überzeugt sich, dass ${\mathbf{𝐠}}_1$ die Unterräume $V_{++}$ und $V_{+-}$ vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter faktorisierte ersetzen:

$V={\mathbb{ℂ}}^2\otimes {\mathbb{ℂ}}^2\otimes V_{++}$ mit den Bildern der Generatoren

${\mathbf{𝐞}}_0=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes I_{++}$

${\mathbf{𝐞}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes I_{++}$

${\mathbf{𝐞}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)\otimes I_{++}$

${\mathbf{𝐞}}_3=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes I_{++}$

Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit $V_{++}=\mathbb{ℂ}$ (und jede dazu isomorphe).

Majorana-Spinoren

Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch der Clifford-Algebra ist die kleinste reelle Darstellung von $C\ell (1,3)$. Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher ${\mathbf{𝐠}}_1$ und ${\mathbf{𝐠}}_{12}$ auf $V_{+}$ definiert sind. Hier können wir nun $V_{+}$ nach $A={\mathbf{𝐠}}_1$ zerlegen in $V_{++}:=\ker (I-A)$ und $V_{+-}:=\ker (I+A)$, $B={\mathbf{𝐠}}_{12}$ vertauscht beide Unterräume, allerdings ist $B^2=-I$, somit

$V_{+}={\mathbb{ℝ}}^2\otimes V_{++}$ mit ${\mathbf{𝐠}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes I_{++}$ und ${\mathbf{𝐠}}_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes I_{++}.$

Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für $V_{++}=\mathbb{ℝ}$

$V={\mathbb{ℂ}}^2\otimes {\mathbb{ℂ}}^2$ mit den Bildern der Generatoren

${\mathbf{𝐞}}_0=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

${\mathbf{𝐞}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

${\mathbf{𝐞}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$

${\mathbf{𝐞}}_3=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

Drehverhalten

Aus Obigem ist die für die Physik vielleicht wesentlichste Eigenschaft der Spinoren nicht leicht zu erkennen bzw. zu folgern:

• Für Teilchen mit ganzzahligem Spin $s$ (gemessen in Einheiten des reduzierten Planck'schen Wirkungsquantums $\hslash )$, sogenannte Bosonen, wird die Wellenfunktion bei einer vollen Drehung um $2\pi$ mit dem Faktor $(-1{)}^{2s}=+1$ multipliziert, d.h. sie bleibt unverändert.

• Dagegen ergibt sich für Teilchen mit halbzahligem Spin, die Fermionen, bei einer vollen Drehung um $2\pi$ der Faktor -1 für die Wellenfunktion. D.h. diese Teilchen wechseln bei einer vollen Drehung das Vorzeichen ihrer quantenmechanischen Phase bzw. sie müssen zwei volle Drehungen durchführen, um wieder in ihren Ausgangszustand zu gelangen, ähnlich dem Stundenzeiger einer Uhr.

Ganz- oder halbzahlige Werte von $s$ sind die einzigen Möglichkeiten für die Ausprägung des Spins.

Siehe auch

• Pauli-Prinzip
• Mathematische Struktur der Quantenmechanik