Spinor

Ein Spinor ist in der Mathematik, und dort speziell in der Differentialgeometrie, ein Vektor in einer kleinsten Darstellung $(\rho ,V)$ einer Spin-Gruppe. Die Spin-Gruppe ist isomorph zu einer Teilmenge einer Clifford-Algebra. Jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen, komplexen oder quaternionischen Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.

Ein Spinor ist in der Physik meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe $\operatorname {Spin} (1,3)$ , die zur Gruppe der Lorentz-Transformationen $\operatorname {SO} (1,3)$ des Minkowski-Raums gehört. Wichtig ist hier vor allem das Drehverhalten.

Spinoren der Quantenphysik

Struktur der Gruppe Spin(1,3)

Die Gruppe $\operatorname {Spin} (1,3)$ ist eine Teilmenge des geraden Teils $C\ell ^{0}(1,3)$ der Clifford-Algebra $C\ell (1,3)$ . Die gesamte Algebra wird von den vier kanonischen Basisvektoren $\mathbf {e} _{0}$ , $\mathbf {e} _{1}$ , $\mathbf {e} _{2}$ , $\mathbf {e} _{3}$ des 4-dimensionalen Minkowski-Raums $\mathrm {M} ^{4}$ mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis) $Q({\vec {x}})=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}$ erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener Basisvektoren; für ihre Quadrate gilt $v^{2}=-Q(v)$ , also $(\mathbf {e} _{0})^{2}=-1$ , $(\mathbf {e} _{1})^{2}=(\mathbf {e} _{2})^{2}=(\mathbf {e} _{3})^{2}=1$ .

Die Unteralgebra $C\ell ^{0}(1,3)$ der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die $\mathbf {e} _{0}$ enthalten: $\mathbf {f} _{1}:=\mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{1}$ , $\mathbf {f} _{2}:=\mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{2}$ , $\mathbf {f} _{3}:=\mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{3}$ . Diese antikommutieren ebenfalls; ihre Quadrate haben den Wert 1.

Die fehlenden zweifachen Produkte bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden Produkten der $\mathbf {f} _{k}$ erzeugt wird:

\mathbf {g} _{1}:=-\mathbf {f} _{2}\mathbf {f} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}

\mathbf {g} _{2}:=-\mathbf {f} _{3}\mathbf {f} _{1}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}

\mathbf {g} _{3}:=-\mathbf {f} _{1}\mathbf {f} _{2}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}

Die von den $\mathbf {g} _{k}$ erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der Quaternionen. Mit Rücksicht auf die Pauli-Matrizen identifizieren wir $\mathbf {g} _{1}=\mathrm {j}$ , $\mathbf {g} _{2}=\mathrm {k}$ , $\mathbf {g} _{3}=\mathrm {i}$ ; Genaueres weiter unten.

Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement

\omega =\mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {f} _{1}\mathbf {g} _{1}=-\mathbf {f} _{2}\mathbf {g} _{2}=-\mathbf {f} _{3}\mathbf {g} _{3}.

Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt $\omega ^{2}=-1$ .

Isomorphe Matrixalgebra

Es ist leicht zu sehen, dass $(\omega ,\mathbf {g} _{1},\mathbf {g} _{2})$ die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als $C\ell ^{1}(1,3)=\mathbf {e} _{0}C\ell ^{0}(1,3)$ zu erhalten ist. Insgesamt gilt:

$(\omega ,\mathbf {e} _{0})$ und $(\mathbf {g} _{1},\mathbf {g} _{2})$ erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
spannen zusammen die gesamte Algebra auf.

Dies liefert den Isomorphismus $\varphi$

C\ell (1,3)\simeq \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}

,

der eingeschränkt einen Isomorphismus

C\ell ^{0}(1,3)\simeq \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}

ergibt.

Es sei im folgenden immer $\mathbb {C} =\mathbb {R} [i]$ , wobei $$ i $$ eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie folgt definiert werden:

\varphi (\omega ):=\mathrm {i} \otimes 1,\varphi (\mathbf {e} _{0}):=\mathrm {k} \otimes 1,

\varphi (\mathbf {g} _{1}):=1\otimes \mathrm {j} ,\varphi (\mathbf {g} _{2}):=1\otimes \mathrm {k} ,\varphi (\mathbf {g} _{3}):=1\otimes \mathrm {i} .

Als Folge daraus ergeben sich mit $\mathbf {f} _{k}=\omega \mathbf {g} _{k}$ und $\mathbf {e} _{k}=-\mathbf {e} _{0}\mathbf {f} _{k}$

\varphi (\mathbf {f} _{1}):=\mathrm {i} \otimes \mathrm {j} ,\varphi (\mathbf {f} _{2}):=\mathrm {i} \otimes \mathrm {k} ,\varphi (\mathbf {f} _{3}):=\mathrm {i} \otimes \mathrm {i} ,

\varphi (\mathbf {e} _{1}):=-\mathrm {j} \otimes \mathrm {j} ,\varphi (\mathbf {e} _{2}):=-\mathrm {j} \otimes \mathrm {k} ,\varphi (\mathbf {e} _{3}):=-\mathrm {j} \otimes \mathrm {i} .

Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren

Es gibt einen Isomorphismus $\rho :\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} \to {\mbox{Hom}}_{\mathbb {R} }(\mathbb {H} ,\mathbb {H} )$ , der einem Tensorprodukt $a\otimes b$ die Abbildung $x\mapsto \rho (a\otimes b)(x):=bx{\bar {a}}$ zuordnet. Damit ist $\rho _{M}:=\rho \circ \phi$ eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana.

Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren

Wir definieren eine bijektive Abbildung $S:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {H}$ als $S(z^{1},z^{2}):=\mathrm {k} \,{\bar {z}}^{1}+{\bar {z}}^{2}$ . Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d. h. $S(wz^{1},wz^{2}):=S(z^{1},z^{2}){\bar {w}}$ . Sei $\theta :=S^{-1}$ die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir

\rho _{W}:C\ell ^{0}(1,3)\to M_{2}(\mathbb {C} )

, durch

\rho _{W}(c)(z^{1},z^{2}):=(\theta \circ \rho _{M}(x)\circ S)(z^{1},z^{2})

,

d. h. einem Element $\varphi (c)=w\otimes q$ aus $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$ wird die Abbildung, die durch

\rho (w\otimes q)(S(z^{1},z^{2}))=qS(z^{1},z^{2}){\bar {w}}=qS(z^{1}w,z^{2}w)

gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z. B.

\rho _{W}(\mathbf {f} _{1})(z^{1},z^{2})=\theta (\rho (-\mathrm {i} \otimes \mathrm {j} )(S(z^{1},z^{2}))=\theta (\mathrm {jk} {\bar {z}}^{1}\mathrm {i} +\mathrm {j} {\bar {z}}^{2}\mathrm {i} )=(-z^{2},-z^{1})

.

Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix $\sigma _{1}$ , analog gilt $\mathbf {f} _{2}\mapsto \sigma _{2}$ und $\mathbf {f} _{3}\mapsto \sigma _{3}$ .

Somit ist $\rho _{W}$ eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit auch der $\operatorname {Spin} (1,3)$ -Gruppe. Diese Darstellung von $C\ell ^{0}(1,3)$ heißt Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl (siehe auch: Pauli-Matrizen).

Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung ${\bar {\rho }}_{W}(c)(z):=({\bar {\theta }}\circ \rho _{M}(x)\circ {\bar {S}})(x)$ , wobei ${\bar {S}}(z_{1},z_{2})=\mathrm {j} S(z_{1},z_{2})={\bar {z}}^{1}\mathrm {j} -{\bar {z}}^{2}$

Weyl-, Dirac- und Majorana-Spinoren

Eine treue Darstellung ist eine Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.

Dazu folgendes Lemma: Sind $$ A $$ , $$ B $$ selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf $$ V $$ mit $A^{2}=B^{2}=I$ und $$ AB=-BA $$ , so zerfällt $$ V $$ in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume $V_{+}:=\operatorname {ker} (I-A)$ und $V_{-}:=\operatorname {ker} (I+A)=BV_{+}$ . Das Tripel $$ (V,A,B) $$ lässt sich isomorph abbilden auf

V=\mathbb {K} ^{2}\otimes V_{+},A={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\otimes I_{+},B={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes I_{+}.

$I_{+}$ ist die Identität auf $V_{+}$ . Das auftretende Tensorprodukt kann hier auch als das Kronecker-Produkt von Matrizen aufgefasst werden.

Weyl-Spinoren

Eine Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl, ist eine kleinste komplexe Darstellung von $\operatorname {Spin} (1,3)$ . Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden Unteralgebra $C\ell ^{0}(1,3)$ .

Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung $(\rho ,V)$ von $C\ell ^{0}(1,3)$ in einen hermiteschen Vektorraum $$ V $$ vorliegen. Dabei sind die Bilder $\rho (\mathbf {f} _{k})$ (der Kürze wegen lassen wir im weiteren das $\rho$ weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von $$ V $$ in sich.

$A:=\mathbf {f} _{3}$ und $B:=\mathbf {f} _{1}$ erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen Darstellung

V=\mathbb {C} ^{2}\otimes V_{+}

mit

\mathbf {f} _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\otimes I_{+}

und

\mathbf {f} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes I_{+}

übergehen.

Um die Gestalt von $\mathbf {f} _{2}$ einzuschränken, betrachten wir das Produkt $\mathbf {f} _{1}\mathbf {f} _{2}$ und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln

(f_{1}f_{2})f_{3}=f_{3}(f_{1}f_{2})

und

(f_{1}f_{2})f_{1}=-f_{1}(f_{1}f_{2})

sich folgende Gestalt zwingend ergibt

\mathbf {f} _{1}\mathbf {f} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\otimes \mathbf {g} _{12}

mit

(\mathbf {g} _{12})^{2}=-1.

Da der Vektorraum $V_{+}$ komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume $V_{++}$ und $V_{+-}$ aufspalten, auf welchen $\mathbf {g} _{12}$ wie $\mathrm {i}$ oder $\mathrm {-i}$ wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die schon genannten Pauli-Matrizen, denn wenn $\mathbf {g} _{12}=\mathrm {i}$ , so ist

\mathbf {f} _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\otimes I_{+}.

Im minimalen Fall ist $V_{++}=\mathbb {C}$ , $V_{+-}=\{0\}$ oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte Weyl-Spinor-Darstellungen.

Anwendung: siehe Weyl-Gleichung

Dirac-Spinoren

In der Quantenelektrodynamik bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie wird der Dirac-Operator definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul Dirac, ist die kleinste komplexe Darstellung von $C\ell (1,3)$ .

Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von $\mathbf {e} _{1}$ . Es kommutiert mit $\mathbf {f} _{3}$ und antikommutiert mit $\mathbf {f} _{1}$ , wie oben stellen wir fest, dass

\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\otimes \mathbf {g} _{1}

mit

(\mathbf {g} _{1})^{2}=1.

Man überzeugt sich, dass $\mathbf {g} _{1}$ die Unterräume $V_{++}$ und $V_{+-}$ vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter faktorisierte ersetzen:

V=\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes V_{++}

mit den Bildern der Generatoren

\mathbf {e} _{0}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes I_{++}

\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes I_{++}

\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\otimes I_{++}

\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes I_{++}

Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit $V_{++}=\mathbb {C}$ (und jede dazu isomorphe).

Majorana-Spinoren

Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch der Clifford-Algebra ist die kleinste reelle Darstellung von $C\ell (1,3)$ . Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher $\mathbf {g} _{1}$ und $\mathbf {g} _{12}$ auf $V_{+}$ definiert sind. Hier können wir nun $V_{+}$ nach $A=\mathbf {g} _{1}$ zerlegen in $V_{++}:=\operatorname {ker} (I-A)$ und $V_{+-}:=\operatorname {ker} (I+A)$ , $B=\mathbf {g} _{12}$ vertauscht beide Unterräume, allerdings ist $B^{2}=-I$ , somit

V_{+}=\mathbb {R} ^{2}\otimes V_{++}

mit

\mathbf {g} _{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\otimes I_{++}

und

\mathbf {g} _{12}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\otimes I_{++}.

Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für $V_{++}=\mathbb {R}$

V=\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}