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Die Ergodenhypothese (oft auch als Ergodentheorem bezeichnet) besagt, dass sich thermodynamische Systeme in der Regel zufällig verhalten („molekulares Chaos“), so dass alle energetisch möglichen Phasenraum-Regionen auch erreicht werden. Die Zeit die sich eine Trajektorie im Phasenraum der Mikrozustände in einer bestimmten Region befindet ist proportional zum Volumen dieser Region. Die Ergodenhypothese ist grundlegend für die statistische Mechanik.[1]
Definition und Einschränkung
Präzise wird angenommen, dass für fast alle Messgrößen $ A $ der zeitliche Mittelwert $ {\overline {A(t)}} $ gleich dem Ensemble- oder Scharmittelwert $ \langle A\rangle $ ist:
- $ {\overline {A(t)}}=\langle A\rangle . $
Voraussetzung für die Gültigkeit ist, dass der betrachtete stochastische Prozess stationär ist und eine endliche Korrelationszeit besitzt; dann gilt die Ergodenhypothese im Limes unendlicher Zeit.
Ferner ist ein dynamisches System nur insofern ergodisch (genauer: quasi-ergodisch), als die Trajektorie (d.h. die Bahn des Systems) jedem Punkt im Phasenraum in endlicher Zeit beliebig nahe kommt. Dagegen formulierte Ludwig Boltzmann in seiner ursprünglichen Arbeit im Jahr 1887, dass die Bahn jeden Punkt trifft.[2]
Obwohl die Ergodenhypothese anschaulich einfach erscheint, ist ihre strenge mathematische Rechtfertigung extrem schwierig.[3]
Verwendung in der Systemtheorie
Man verwendet den Begriff auch in der Systemtheorie zur Klassifizierung von Systemen bzw. der von ihnen erzeugten Signale. Ein ergodisches Signal ist ein stochastisches (dem Zufall unterworfenes) stationäres Signal, das sowohl aperiodisch als auch wiederkehrend ist. Dies ist z. B. der Fall, wenn das Signal eine markante Wellenform hat, ohne dass sich diese in festen Intervallen wiederholt. Ergodische Systeme tendieren dazu, ein Ausgangssignal zu erzeugen, das nur wenig von der Initialanregung abhängt.
Verletzung
Im Fall spontaner Symmetriebrechung wird die Ergodenhypothese verletzt (Ergodizitätsbrechung). Es gibt dann disjunkte ergodische Bereiche im Phasenraum. Dies kann bei Phasenübergängen geschehen, bei Glasübergängen, d.h. beim Erstarren einer Flüssigkeit, oder bei Spingläsern.
Einzelnachweise
- ↑ Statistical Thermodynamics, Normand M. Laurendeau, Cambridge University Press, 2005, ISBN 0521846358, S. 379, eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche
- ↑ zum Unterschied zwischen ergodisch und quasi-ergodisch und anderen Fragen: Siehe Richard Becker: Theorie der Wärme („Theory of Heat“, 1954). 1. Aufl. Springer-Verlag, Berlin 1955. S. 97.
- ↑ zur quantenmechanischen Begründung: siehe Albert Messiah: Quantenmechanik, Band 1 („Mécanique quantique“, 1962). 2. Aufl. DeGruyter, Berlin 1985, S. 17, ISBN 3-11-010265-X.
