Eigenzustand

Der Eigenzustand bezeichnet in der Quantenmechanik eine der Eigenfunktionen bzw. einen der Eigenvektoren einer Observable. Eine Observable ist in der Quantenmechanik eine Messgröße die durch einen Selbstadjungierten Operator dargestellt wird. Die Anwendung des Operators auf den Eigenzustand ergibt denselben Zustand, multipliziert mit einem Skalar. Dieser Skalar ist der Eigenwert des betreffenden Operators in diesem Zustand. Der Eigenwert selbst oder seine laufende Nummer in einer nummerierten Reihe der Eigenwerte der Observable ist dann die zugehörige Quantenzahl.

Eine Messung der Observablen liefert als Ergebnis einen der Eigenwerte und lässt das physikalische System in dem Eigenzustand zurück, der zu dem gemessenen Eigenwert gehört.

Tendenziell wird der Begriff Eigenvektor eher in Zusammenhang mit der abstrakten Formulierung der Quantenmechanik mit Bra- und Ket-Vektoren oder auch in der Matrixdarstellung der Quantenmechanik verwendet, der Begriff Eigenfunktion dagegen eher für einen Eigenzustand in einer konkreten Darstellung (z. B. im Ortsraum).

Notation

Hat der Operator $ {\hat {A}} $ die Eigenwerte $ \,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\dots $, dann schreibt sich die Eigenwertgleichung für den $ \,n $-ten Eigenzustand $ \,|\psi _{n}\rangle $ so:

$ {\hat {A}}|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle $

Beispiel: Die Lösungen der stationären Schrödingergleichung

$ {\hat {H}}|\varphi \rangle =E|\varphi \rangle $

sind die Eigenzustände $ \,|\varphi \rangle =|\psi _{n}\rangle $ des Hamiltonoperators $ {\hat {H}} $, sodass mit den Eigenwerten $ \,E_{n} $ gilt:

$ {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle $

Bedeutung

Wenn vor einer bestimmten Messung das untersuchte System in einem Eigenzustand $ \,|\psi _{m}\rangle $ des entsprechenden Operators $ {\hat {A}} $ ist, dann ist das sichere Ergebnis dieser Messung gerade der Eigenwert $ \,a_{m} $. Liegt das System aber in einem Zustand $ \,|\varphi \rangle $ vor, der nicht Eigenzustand zu $ {\hat {A}} $ ist, kann das Messergebnis nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Jeder der Eigenwerte $ \,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\dots $ ist ein mögliches Messergebnis, wobei die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $ \,a_{n} $ (wenn die Zustände auf 1 normiert sind) durch $ \vert \,\langle \psi _{n}|\varphi \rangle \vert ^{2} $ gegeben ist (d.h. durch das Betragsquadrat der Komponente des Vektors $ \,|\varphi \rangle $ längs $ \,|\psi _{n}\rangle $). Das Skalarprodunkt $ \,\langle \psi _{n}|\varphi \rangle $ selber wird auch die Amplitude des Zustands $ \,|\psi _{n}\rangle $ im Zustand $ \,|\varphi \rangle $ genannt. Nach einer Messung ist das untersuchte Systems dann in demjenigen Eigenzustand des betreffenden Operators, dessen Eigenwert mit dem Messergebnis übereinstimmt. Dies wird als Zustandsreduktion bezeichnet. Sie sichert u. a., dass eine sofortige Wiederholung der Messung dasselbe Ergebnis zeigt.

Eigenschaften

• Die Eigenzustände desselben hermiteschen Operators, aber mit verschiedenen Eigenwerten, sind orthogonal: Wenn $ \,a_{n}\neq a_{m} $ dann $ \langle \psi _{n}|\psi _{m}\rangle =0 $.
• Wenn eine Anzahl $ \,g $ paarweise orthogonaler Eigenzustände desselben hermiteschen Operators denselben Eigenwert haben, heißt dieser $ \,g $-fach entartet. Jede Linearkombination dieser Eigenzustände ist dann auch Eigenzustand zum selben Eigenwert, insgesamt ein $ \,g $-dimensionaler Unterraum des gesamten Zustandsraums. Welche Basisvektoren man darin auswählt, ist beliebig.
• $ \,g $ gibt in der Quantenstatistik das statistische Gewicht des Eigenwerts an. Das wird abgekürzt, aber ungenau, häufig so ausgedrückt, dass es für diesen Messwert „genau $ \,g $ verschiedene Zustände“ gäbe. Diese Ausdrucksweise bezieht sich auf die maximale Anzahl linear unabhängiger Zustände unter allen Eigenzuständen zum selben Eigenwert, also die Dimension des Unterraums.
• Eine besondere Bedeutung haben die Eigenzustände eines Hamilton-Operators, denn sie sind die stationären Zustände des von diesem Operator beschriebenen Systems (s. Notations-Beispiel oben). Auch sie sind hier nicht die einzigen möglichen Zustände. Allgemein ist jede (normierte) Linearkombination von Zuständen ein möglicher Zustand (Superpositionsprinzip), öfters auch Überlagerungszustand genannt. So ein Überlagerungszustand ist ein Eigenzustand zu einem Operator genau dann, wenn in der Linearkombination nur dessen Eigenzustände zum selben Eigenwert vorkommen.