Duale Netzwerke
| Lineare elektrische Netzwerke | |
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| Ideales Element | |
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| Elektrisches Bauelement | |
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| Reihen- und Parallelschaltung | |
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| Netzwerkumformungen | |
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| Generatorsätze | Netzwerksätze |
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| Methoden der Netzwerkanalyse | |
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| Zweitor-Parameter | |
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Duale Netzwerke bzw. duale Schaltungen sind elektrische Netzwerke, in denen Ströme und Spannungen vertauscht sind.[1]
Duale Topologie
Im Kontext der Graphentheorie lässt sich für den Fall ebener Graphen ein Dualitätsbegriff fassen, der eng mit der Beziehung von Zyklen- und Schnittraum eines Graphen verwandt ist.[2] Wie in nebenstehender Skizze dargestellt, entsprechen die Kanten beider Graphen ein-eindeutig einander, während die Knoten des einen Graphen im anderen als Zyklen auftreten und umgekehrt. In Begriffen der Elektrotechnik werden die Zyklen als Maschen, die Kanten als Zweige mit je einem Zweipol, der Graph als Netzwerk oder, mit Fokus auf den graphentheoretischen Hintergrund, als Topologie bezeichnet.
Duale Elemente und Gesetzmässigkeiten
Zweipole sind dann dual zueinander, wenn ihre Strom-Spannungs-Kennlinien bei Vertauschen von Spannung und Strom strukturell erhalten bleibt. Dies ist insbesondere bei Impedanzen mit $ Z'=1/Z $ der Fall. Damit stehen sich Grundelemente wie Quellen und Impedanzen wie folgt dual gegenüber.
| Element | $ Z $ | Dual | $ Z' $ |
|---|---|---|---|
 Stromquelle |
$ \infty $ |  Spannungsquelle |
$ 0 $ |
 Widerstand |
$ R={\frac {1}{G}} $ |  Leitwert |
$ G={\frac {1}{R}} $ |
 Induktivität |
$ \mathrm {j} \omega L $ |  Kapazität |
$ {\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}} $ |
Darüber hinausgehend lässt sich die Dualität auch bei gesetzmässigen Zusammenhängen und den dabei auftreten Größen angeben:
| Netzwerk | Duales Netzwerk |
|---|---|
| Reihenschaltung | Parallelschaltung |
| Kurzschluss | Leerlauf |
| 1. Kirchhoffsches Gesetz | 2. Kirchhoffsches Gesetz |
| Norton-Theorem | Thévenin-Theorem |
| Masche | Knoten |
| T-Glied | π-Glied |
| Dreieckschaltung | Sternschaltung |
Duale Netzwerke
Zwei Netzwerke sind dual zueinander, wenn
- ihre Topologie dual ist.
- alle korrespondierenden Zweipole dual sind.
Beispiele
Reihen- und Parallelschaltung
Die nebenstehende Skizze zeigt die graphische Konstruktion der Dualität von Reihen- und Parallelschaltung vom Impedanzen. Da die Schaltung nicht geschlossen ist, wurden die Anschlüsse hilfsweise mit den gestrichelten Linie verbunden. Man vergewissere sich, dass jeder Zweipol sein korrespondierendes Dual hat und jeder Knoten genau in einer Masche der dualen Schaltung liegt. Ferner ist jede der dualen Schaltungen für sich planar, enthält also keine sich kreuzenden Verbindungen.