Thévenin-Theorem

In der Theorie linearer elektrischer Netzwerke besagt das Thévenin-Theorem, benannt nach Léon Charles Thévenin und auch als Helmholtz-Thévenin-Theorem oder Helmholtz-Satz bezeichnet, dass jede mögliche Kombination von Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen bezüglich zweier Klemmen elektrisch äquivalent zu einer Reihenschaltung aus einer Spannungsquelle und einem Widerstand $ R $ ist. Diese Ersatzschaltung wird Thévenin-Äquivalent oder im deutschen Sprachraum Ersatzspannungsquelle genannt. Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet.

Berechnung des Thévenin-Äquivalents

Jede elektrische Schaltung, die ausschließlich aus Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen besteht, kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden.

Das Thévenin-Äquivalent besteht aus einem Widerstand $ R_\mathrm{Th} $ und einer Spannungsquelle $ U_\mathrm{Th} $. Um die zwei Unbekannten $ R_\mathrm{Th} $ und $ U_\mathrm{Th} $ zu bestimmen, benötigt man zwei Gleichungen. Diese Gleichungen können auf verschiedene Art und Weise erstellt werden. Meistens gebraucht man jedoch folgende:

  • Die Ausgangsspannung $ U_\mathrm{AB} $ bei offenen Klemmen A-B, d. h. ohne Lastwiderstand, bestimmen. Diese Leerlaufspannung ist die Thévenin-Äquivalentspannung $ U_\mathrm{Th} $.

Um den Thévenin-Äquivalentwiderstand $ R_\mathrm{Th} $ zu bestimmen, benutzt man meistens eine der drei folgenden Methoden:

  • Man ersetzt alle unabhängigen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse (behält jedoch die Innenwiderstände) und streicht alle unabhängigen Stromquellen (d. h. man ersetzt sie durch Open Circuits bzw. Unterbrechungen). Gesteuerte (abhängige) Strom- bzw. Spannungsquellen sind jedoch in der Schaltung zu belassen! Dann berechnet man den Ersatzwiderstand. Dieser ist gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand.
  • Wenn man den Kurzschlussstrom $ I_\mathrm{AB} $ kennt, benutzt man das Ohmsche Gesetz, um $ R_\mathrm{Th} $ zu bestimmen:
$ R_\mathrm{Th} = \frac{U_\mathrm{Th}}{I_\mathrm{AB}} $
  • Man schließt einen Widerstand mit bekanntem Wert an A-B an. Mit Hilfe des Spannungsteilergesetzes kann man dann den Thévenin-Äquivalentwiderstand $ R_\mathrm{Th} $ bestimmen.

Eine geläufige Variante dieser Methode ist die der Halb-Spannung: Man schließt einen veränderbaren Widerstand (ein Potentiometer) an A-B an und misst die Spannung. Dann variiert man den Wert des veränderbaren Widerstandes, bis man die Hälfte der Leerlaufspannung $ U_\mathrm{Th} $ über A-B misst. Der veränderliche Widerstand ist dann gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand $ R_\mathrm{Th} $.

Der Beweis des Thévenin-Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip.

Umwandlung zwischen Norton- und Thévenin-Äquivalent

Norton-Thévenin-Äquivalent-Umwandlung

Ein Norton-Äquivalent kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden anhand folgender Gleichungen:

$ R_\mathrm{Th} = R_\mathrm{No} \, $
$ U_\mathrm{Th} = I_\mathrm{No} R_\mathrm{No} \, $

Anmerkung: Das $ V_\mathrm{th} $ im Schaltbild ist eine englische Schreibweise und entspricht dem deutschen $ U_\mathrm{Th} $.

Erweiterung für Wechselstrom

Das Norton-Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden, indem Impedanzen statt der ohmschen Widerstände verwendet werden.

Geschichte

Das Thévenin-Theorem wurde zuerst vom deutschen Wissenschaftler Hermann von Helmholtz 1853 entdeckt. Es wurde dann 1883 vom französischen Ingenieur Léon Charles Thévenin (1857–1926) wiederentdeckt.[1]

Literatur

  •  Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29290-X.

Einzelnachweise

  1. Johnson, D. H. (2003). Origins of the equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent. Proceedings of the IEEE, 91(4), 636–640. doi:10.1109/JPROC.2003.811716

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