Cent (Musik)

Einheit
Norm Hilfsmaßeinheit
Einheitenname Cent
Einheitenzeichen ¢, C
Beschriebene Größe(n) Tonhöhenintervall
Größensymbol(e) $ i\!\,,n\,,c $   u.a.
Dimensionsname 1 (dimensionslos)


Das Cent (von lat. centum „hundert“) dient als logarithmische Maßeinheit für musikalische Intervalle. Der Name kommt daher, dass ein gleichstufiger Halbton in 100 Schritte geteilt wird. Da eine Oktave zwölf Halbtöne umfasst, entspricht sie 1200 Cent. Die Einheit Cent ist in DIN 13320 genormt (siehe unten) und entspricht einem Frequenz-Verhältnis von $ \sqrt[1200]{2} \approx 1{,}000\,577\,789\,5 $.

Mittels Angaben in Cent können verschiedene Tonsysteme und Stimmungen bequem verglichen werden. Der Tonhöhenvergleich mittels dieser Einheit hat den Vorteil, dass er dem additiven Intervall-Empfinden des Gehörs entspricht. Er ist damit praxisnäher als die Angaben zu Frequenz-Verhältnissen, bei denen ein Größenvergleich nicht unmittelbar möglich ist.

Die Berechnung erfolgt logarithmisch. Ist $ q $ das Frequenzverhältnis des Intervalls $ i $, so berechnet sich das Intervall $ i $ als Vielfaches von einem Cent:

$ i = 1200 \cdot \log_2(q) \text { Cent} = 1200 \cdot \frac {\log(q)} {\log(2)} \text { Cent}. $[1]


Diatonische Intervalle
Prime
Sekunde
Terz
Quarte
Quinte
Sexte
Septime
Oktave
None
Dezime
Undezime
Duodezime
Tredezime
Halbton/Ganzton
Besondere Intervalle
Mikrointervall
Komma
Diësis
Limma
Apotome
Ditonus
Tritonus
Wolfsquinte
Maßeinheiten
Cent
Millioktave
Oktave
Savart

Mathematische Präzisierung der Definition

Das Wort Cent bezeichnet sowohl ein Tonhöhenintervall mit dem Frequenzverhältnis (Proportion)

$ p_c = \sqrt[1200]{2} = 2^\tfrac{1}{1200} \approx 1{,}000\,577\,789\,5 $[2]

als auch eine hierauf verweisende dimensionslose Hilfsmaßeinheit.

Für das logarithmische Frequenzintervall Cent gilt nämlich:  $ 1\,\text{Cent} = \log_2\,p_c = \frac{1}{1200}\,\approx 0{,}000\,833\,33 $

Zur Verdeutlichung wird allerdings meist noch die Hilfsmaßeinheit Oktave hinzugefügt, so dass folgende anschauliche Definitionsgleichung entsteht:

$ 1\,\text{Cent} = \frac{1}{1200}\,\,\text{Oktave} $

Entstehung

Die Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis (1814–1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz' „Lehre von den Tonempfindungen“ als Einheit zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.

Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass wahrnehmbare Frequenzunterschiede hinreichend genau als ganzzahlige Vielfache von Cents ausgedrückt werden können. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für Sinustöne beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt. Geringere Intervallunterschiede werden beim Nacheinander-Erklingen der Töne nicht mehr erkannt. Bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar. Bei größeren Tonabständen lassen sich Intervallgrößen durch Schwebungen der harmonischen Obertöne sehr genau bestimmen, die in musikalisch verwendeten Tönen meistens vorhanden sind. Bei tiefen Sinustönen mit geringer Lautstärke steigt hingegen die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent, also einem Halbton.

Die Verwendung in der musikalischen Praxis

Vor allem für die Darstellung der feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen verwendet man die Einheit Cent.

Um möglichst viele Tonarten (bei einer zwölfstufigen Skala der Oktave) spielbar zu machen, muss man Verstimmungen bei reinen Quinten und Terzen in Kauf nehmen.

Bei den mitteltönigen Stimmungen treten Abweichungen bis etwa 8 Cent auf, wenn nur C-Dur nahe Akkorde verwendet werden.

Beispiel: Mitteltönige Quinte

697 Cent

Anhören?/i

(Leichte Schwebungen zu hören)

Reine Quinte

702 Cent

Anhören?/i

(Keine Schwebungen)

Mit 14 Cent Abweichung hat man sich abzufinden, wenn man auf Tasteninstrumenten alle Tonleitern nutzen will. Dabei wird ausgenutzt, dass das menschliche Gehör sich „die Intervalle zurechthört“.

Beispiel:
(Zuerst die Terz, dann im Akkord)
Gleichstufige große Terz (220 Hz 277Hz)

400 Cent

Anhören gleichstufig?/i

(Das Intervall kling „rau“: viele Schwebungen)

Reine große Terz(220 Hz und 275 Hz)

386 Cent

Anhören rein?/i

(Keine Schwebungen)

Noch größere Abweichungen wie etwa die „Wolfsquinte“ der mitteltönigen Stimmung bei stark von C-Dur entfernten Tonarten werden von Musikern nicht geduldet.

Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen: Siehe Stimmung.


Bei dem Centmaß handelt sich um ein logarithmisches Maß im Vergleich zu den Frequenzverhältnissen, wie man an folgender Tabelle erkennt.

Frequenzverhältnis Intervall
2:1 1 Oktave = 1200 Cent.
4:1 2 Oktaven = 2400 Cent.
8:1 3 Oktaven = 3600 Cent.
...
$ 2^k : 1 $ k Oktaven = $ k \cdot 1200\,\text{Cent} $.
Berechnung über den Logarithmus[3]
3:2 Quinte = $ \log_2\left(\tfrac 3 2\right) \cdot 1200\,\text{Cent} \approx 702\,\text{Cent} $.
4:3 Quarte = $ \log_2\left(\tfrac 4 3\right) \cdot 1200\,\text{Cent} \approx 498\,\text{Cent} $.
5:4 Große Terz = $ \log_2\left(\tfrac 5 4\right) \cdot 1200\,\text{Cent} \approx 386\,\text{Cent} $.
6:5 Kleine Terz = $ \log_2\left(\tfrac 6 5\right) \cdot 1200\,\text{Cent} \approx 316\,\text{Cent} $.

Werden Intervalle hintereinander ausgeführt, kann man ihre Größen in Cent addieren (während ihre Frequenzverhältnisse multipliziert werden müssen). Insofern ist es berechtigt, Intervalle als Vielfache von 1 Cent anzugeben und sie zu addieren.

Beispiel:

Quinte + Quarte = 702 Cent + 498 Cent = 1200 Cent = Oktave. (Frequenzverhältnisse: 3/2·4/3 = 2/1.)

Kleine Terz + große Terz = 316 Cent + 386 Cent = 702 Cent = Quinte. (Frequenzverhältnisse: 6/5·5/4 = 3/2.)

Umrechnung von Proportionen in Cent

Gegeben sei die Proportion (Frequenzverhältnis) $ p=\frac{f_2}{f_1} $ eines beliebigen Intervalls.[4] Das logarithmische Intervallmaß $ i $ errechnet sich dann nach der (inhaltlich seit ca. 1650 bekannten) Definitions-Formel:

$ i = \log_2{p}\,\,\text{Oktave} $

Diese Gleichung übersetzt die multiplikativen akustischen Proportionen in die additiven logarithmischen Intervallmaße (Beispiel unten).

Mit  $ 1\,\text{Oktave}= 1200\,\,\text{Cent} $  erhalten wir:   $ i = \log_2{p}\cdot 1200 \mathrm{Cent} \, $

Nach Umrechnung des Zweier-Logarithmus in einen Zehner-Logarithmus über die Gleichung   $ \log_2 p = \frac{\lg p}{\lg 2} $   entsteht eine für Taschenrechner bequem handhabbare Gleichung:

$ i = \frac{\lg p}{\lg 2} \cdot 1200\,\,\text{Cent} $.

Beispiele aus der Musiktheorie

Ein Dreiklang besteht aus einer reinen großen Terz und einer reinen kleinen Terz, die sich zur reinen Quinte summieren („rein“ ist hier nicht im Unterschied zu „vermindert“ und „übermäßig“ gemeint, sondern in der Bedeutung „nicht temperiert“, mit dem genauen Frequenzverhältnis 3:2, so dass auch der Begriff „reine“ Terz sinnvoll ist; siehe auch Reine Stimmung).

In der meistens ausreichenden Näherung mit ganzen Zahlen von Cents ergibt sich:

Intervall mit Proportion $ p $ Intervall $ i $ in Cent
reine kleine Terz 6/5 $ \log_2{\tfrac{6}{5}}\cdot 1200 \;\mathrm{Cent} \approx 316\;\mathrm{Cent} $
reine große Terz 5/4 $ \log_2{\tfrac{5}{4}}\cdot 1200\;\mathrm{Cent} \approx 386\;\mathrm{Cent} $
reine Quinte 3/2 $ \log_2{\tfrac{3}{2}}\cdot 1200 \;\mathrm{Cent} \approx 702\;\mathrm{Cent} $

Die Additionsgleichung der Dreiklangsintervalle entspricht der Multiplikation der Proportionen in Brüchen ausgedrückt:

reine große Terz + reine kleine Terz = reine Quinte
$ 386\;\mathrm{Cent} + 316\;\mathrm{Cent} = 702\;\mathrm{Cent} $
$ \tfrac{5}{4} \cdot \tfrac{6}{5} = \tfrac{3}{2} $

Umrechnung von Cent in Proportionen

Die umgekehrte Umrechnung von Cent in Proportion (Frequenzverhältnis) wird seltener benötigt. Zur Berechnung der Proportion $ p $ eines beliebigen in Cent angegebenen Intervalls $ i $ löst man die Gleichung    $ i = 1200\cdot\log_2{p}\;\mathrm{Cent} $    nach $ p $ auf, indem man auf beiden Seiten durch 1200 Cent dividiert und anschließend entlogarithmiert:

$ p=2^\frac{i}{1200\,\mathrm{Cent}} $.

Mit bekannten Rechenregeln für Potenzen ergibt sich folgende Näherung für den Taschenrechner:

$ p\approx 1{,}00057779^\frac{i}{\mathrm{Cent}} $.

Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:

Intervall $ i $ in Cent Proportion $ p $ Intervall
316 Cent $ 2^{\frac{316}{1200}} \approx 1{,}2 = \tfrac{6}{5} $ reine kleine Terz
386 Cent $ 2^{\frac{386}{1200}} \approx 1{,}25 = \tfrac{5}{4} $ reine große Terz
702 Cent $ 2^{\frac{702}{1200}} \approx 1{,}5 = \tfrac{3}{2} $ reine Quinte

Berechnung von Frequenzen

Der oben genannte Faktor $ \sqrt[1200]{2} = 2^\frac{1}{1200} $ ist die Proportion (das Frequenzverhältnis) eines Tonunterschieds von einem Cent. Die Frequenzberechnung erfolgt daher mit dieser Zahl als Basis und dem Intervall in Cent im Exponenten.

Beispiele einiger als Stimmton a' verwendeter Frequenzen, von 440 Hz ausgehend:

  • Erhöhung um 1 Cent: $ 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{1}{1200} \approx 440{,}254\,\mathrm{Hz} $
  • Erhöhung um 100 Cent: $ 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{100}{1200} \approx 466{,}164\,\mathrm{Hz} $
  • Verringerung um 1 Cent: $ 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{-1}{1200} \approx 439{,}746\,\mathrm{Hz} $
  • Verringerung um 100 Cent: $ 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{-100}{1200} \approx 415{,}305\,\mathrm{Hz} $

Beispiel aus der Musiktheorie

Der Ton a' hat die Frequenz von 440 Hz. Der Ton c'' liegt eine kleine Terz darüber.

Der Ton c'' hat demnach in reiner Stimmung (Frequenzverhältnis der kleinen Terz: 6:5) die Frequenz $ 440\,\mathrm{Hz} \cdot \frac{6}{5} = 528\,\mathrm{Hz} $, in gleichstufiger Stimmung jedoch (kleine Terz = 3 Halbtöne = 300 Cent) die Frequenz $ 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{300}{1200} \approx 523{,}251\,\mathrm{Hz} $ .

DIN-Norm

Nach DIN 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“[5] bezeichnet Cent ein Frequenzmaßintervall, dessen Frequenzverhältnis $ 2^{\frac{1}{1200}} $ beträgt. Das Cent kann wie eine Einheit benutzt werden; somit kann das Frequenzmaßintervall der Frequenzen f1 und f2 (f2 > f1) als $ 1200 \cdot \log_2 \left( \frac{f_2}{f_1} \right)\,\mathrm{Cent} $ bezeichnet werden.

Absolutes Cent

Man kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent-Werte zuordnen. Zur Berechnung dieses absoluten Cents wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Es ergeben sich dann: 2 Hz = 1200 Cent, 4 Hz = 2400 Cent usw. mit den entsprechenden Zwischenwerten. [6]

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Anmerkungen

  1. Zum Beispiel hat die Quinte das Frequenzverhältnis $ \tfrac {3}{2} $. Ihre Größe berechnet sich dann zu
    $ \text{Quinte} = 1200 \cdot \log_2\left(\frac{3}{2}\right) \text { Cent} = 1200 \cdot \frac {\log(\frac {3} {2})} {\log(2)} \text { Cent} \approx 702 \text { Cent}. $
  2. Herleitung: Das (auch Proportion genannte) noch unbekannte Frequenzverhältnis $ p\!\, $  von einem Cent ist aus der Beziehung 1200 Cent = 1 Oktave (Frequenzverhältnis 2:1) zu bestimmen. Da die Frequenzverhältnisse bei der Hintereinanderausführung von Intervallen multipliziert werden, gilt für das Frequenzverhältnis von 1200 Cent die Beziehung $ p^{1200}= 2:1 $. Daraus folgt $ p = \sqrt[1200]{2} = 2^\tfrac{1}{1200} $.
  3. Man beachte dabei die Beziehung: $ 2^k=q \Leftrightarrow k=\log_2 q $. Wird zum Beispiel für das Frequenzverhältnis $ q = 3:2 $ die Zahl $ k $ gesucht, mit der ich 2 potenzieren muss, damit ich $ q $ erhalte, muss ich $ 2^k = \tfrac {3}{2} $ auflösen zu $ k = \log_2\left(\tfrac 3 2\right). $ Siehe Tonstruktur_(mathematische_Beschreibung)#Intervallraum.
  4. Im Normalfall sollte $ f_2 \ge f_1 $ sein. Wenn es umgekehrt ist, wird das Umrechnungsergebnis negativ mit dem gleichen Absolutwert.
  5. Webseite zur DIN 13320 beim Beuth Verlag
  6. Riemann Musiklexikon, Sachteil, Mainz 1967, S. 150

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