Trägheitsradius

Bei Strukturuntersuchungen an weicher Materie ist der Trägheitsradius (auch Streumassenradius genannt) eine wichtige Größe zur Charakterisierung der räumlichen Ausdehnung unregelmäßig geformter Partikel. Er lässt sich durch Streuexperimente bestimmen.

Die Definition des Trägheitsradius ähnelt der des Trägheitsmoments. Bestehen die Partikel aus N gleichartigen Bausteinen mit Ortsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_1\dots\vec{r}_N , so ist das Quadrat des Trägheitsradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_G definiert als der mittlere quadratische Abstand der Bausteine zum Schwerpunkt ${\overrightarrow{r}}_S$ des Partikels,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_G^2=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left| \vec{r}_i-\vec{r}_S \right|^2 .

Bei den „Bausteinen“ kann es sich beispielsweise um die Monomere einer Polymerkette handeln. Ist die Massenverteilung im Partikel durch eine Massendichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec{r}) gegeben, so ergibt sich für den Trägheitsradius

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_G^2=\frac{1}{M} \int \mbox{d}^3r\,\rho(\vec{r})\left| \vec{r}-\vec{r}_S \right|^2 ,

wobei M die Masse des Partikels ist. Je kompakter ein Objekt ist, desto kleiner ist sein Trägheitsradius. Im Extremfall einer homogenen Kugel mit Radius R ergibt sich R_G = (3/5)^1/2R.

Der Trägheitsradius lässt sich durch Streuexperimente an einer verdünnten Suspension bzw. Lösung der Partikel bestimmen: Für kleine Streuvektoren $\overrightarrow{q}$ lässt sich die Strukturfunktion S durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(\vec{q}) \approx N\left(1-\frac{q^2R_G^2}{3}\right)

annähern, sie hängt dann also nur von der Zahl der Bausteine N und dem Trägheitsradius ab. Dieser Zusammenhang ist als Guinier-Gesetz bekannt. Zur Messung des Trägheitsradius von suspendierten Kolloiden oder gelösten Polymeren eignet sich oft die Lichtstreuung. Um die räumliche Ausdehnung der verknäuelten Kettenmoleküle in einer Polymerschmelze zu charakterisieren, bietet sich die Kleinwinkel-Neutronenstreuung an; um einen Streukontrast zu erhalten, wird dabei der Schmelze ein geringer Anteil deuteriertes Polymer zugesetzt.