Teilchen im Kasten

Das Teilchen im Kasten, auch unendlicher Potentialtopf genannt, ist ein Spezialfall des Potentialtopfes, bei dem das Potential in einem bestimmten Bereich gleich Null und außerhalb davon unendlich ist. Das Teilchen im Kasten ist ein Modellsystem in der Quantenmechanik, welches die Quantisierung der Energie verständlich macht. Als eindimensionales Modell lässt es sich vergleichsweise einfach berechnen. Es handelt sich jedoch um eine vereinfachende Annahme, die den Regeln der Quantenmechanik nicht völlig entspricht, da die sich ergebende Wellenfunktion z.B. nicht stetig differenzierbar ist (am Übergang von Potentialbarriere und Kasteninnerem).

Aufbau und Voraussetzungen

Das eindimensionale Modellsystem besteht aus einem freien Teilchen, beispielsweise einem Gasmolekül, das sich in dem potentialfreien Raum zwischen zwei unendlich großen Potentialen befindet. Die als "Wände" bezeichneten Grenzen (eine bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x=0 und eine bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x=L ) sind senkrecht zur x-Achse und somit parallel zueinander. Dieses stark vereinfachende Modell eines Potentialtopfs bezeichnet man als Potentialkasten.

Innerhalb des Potentialkastens der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L wirken im Modell keine Kräfte auf das Teilchen (Gravitation und Elektromagnetische Felder werden nicht berücksichtigt). Da das Potential außerhalb des Kastens unendlich groß ist, kann das Teilchen den Kasten nicht verlassen. Daraus folgt, dass sich das Teilchen im Inneren des Kastens mit konstanter Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v bewegt und an den Wänden ohne Energieverlust reflektiert wird. Betrachtet man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v als vektorielle Größe, so gilt, dass der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt.

Zustandsfunktion und Antreffwahrscheinlichkeit

Beschreibt man das Teilchen, wie in der Quantenphysik üblich, mit Hilfe einer einfachen Wellenfunktion, ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen existieren können, für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist, denn nur hier fällt auch nach einer Reflexion Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental (stehende Welle). Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L kein Vielfaches der halben Wellenlänge, löscht sich die Welle durch Überlagerung nach kurzer Zeit selbst aus. Dies ist die erste Besonderheit der Quantenmechanik, die sich mit dem Teilchen im Kasten aufzeigen lässt: Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes können nur in bestimmten Zuständen existieren, die mit der Quantenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n eindeutig beschrieben werden.

Eine weitere quantenmechanische Besonderheit in dem Modell ist die Antreffwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Potentialkasten zu finden, beträgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 , da es den Kasten nicht verlassen kann. Überall außerhalb des Kastens beträgt die Antreffwahrscheinlichkeit dementsprechend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 . Für einzelne Punkte innerhalb des Kastens ist die Antreffwahrscheinlichkeit verschieden und hängt von dem Zustand des Teilchens ab.

Eine andere Besonderheit der Quantenmechanik, der Tunneleffekt, tritt nicht bei dem hier beschriebenen Potential, sondern nur bei einem endlich hohen Potentialtopf auf.

Energie

Weil Teilchen innerhalb eines Potentialkastens nur in bestimmten einzelnen Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n existieren können, können sie auch nur bestimmte diskrete, von $ n $ abhängige Energiewerte haben. Dies gilt auch bei endlich hohen "Wänden" und hat weitreichende Auswirkungen etwa auf das Verständnis des Aufbaus von Atomen. Mit den oben gemachten Annahmen lässt sich für die Energie eines Teilchens in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n folgende Gleichung herleiten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{n}=\frac{h^{2}}{8mL^{2}}n^{2} \quad \textrm{mit} \quad n=1,2,3\ldots

Wird ein Teilchen angeregt, also etwa einem Atom durch Bestrahlung Energie zugeführt, wechselt es ohne "fließenden" Übergang direkt auf ein höheres Energieniveau ("Quantensprung"). Wechselt ein Teilchen auf ein niedrigeres Energieniveau, so gibt es die freiwerdende Energie ab, beispielsweise in Form eines Photons.

Aus der oben angeführten Gleichung lassen sich drei einfache Schlussfolgerungen ziehen, die das Teilchen im Potentialkasten qualitativ beschreiben:

1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat der Quantenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E \sim n^{2} )
2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie des Teilchens (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E \sim L^{-2} )
3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz zwischen zwei Energieniveaus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{n} und $ E_{n+1} $.

Diese Aussagen gelten sinngemäß auch für andere Potentialtöpfe.

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung führen zur Quantisierung der Energie

Der Hamiltonoperator des eindimensionalen Problems lautet in Ortsdarstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}+V(x)\ ,\quad V(x)=\begin{cases} 0 & (0\leq x\leq L)\\ \infty & (x<0,\ x>L)\end{cases}

Die Schrödingergleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=H\Psi(x,t)

geht mit dem Ansatz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Psi(x,t)=\psi(x)\,\exp\left(-\mathrm{i}\frac{E}{\hbar}t\right)

in die zeitunabhängige (stationäre) Schrödingergleichung über.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H\,\psi(x)=E\,\psi(x)

Im Folgenden wird die zeitunabhängige Schrödingergleichung zu lösen sein (Eigenwertproblem des Hamiltonoperators)

Innerhalb des Kastens

Die stationäre Schrödingergleichung entspricht innerhalb des Kastens der eines freien Teilchens (gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}} \psi(x) = E \psi(x)\ ,\quad (0\leq x\leq L)

Für die Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x) innerhalb des Kastens wählt man folgenden Ansatz

$ \,\psi (x)=A\sin(kx)+B\cos(kx) $

Äquivalent wäre der Ansatz mit komplexen Exponentialfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x)=A\exp(\mathrm{i}kx)+B\exp(-\mathrm{i}kx) .

Diesen Ansatz setzt man in die Schrödingergleichung ein, wobei die zweite Ableitung nach dem Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\psi(x)=-k^{2}\psi(x) ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{\hbar^{2}}{2m}(-k^{2})\psi(x)=E\psi(x)

Somit erhält man die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E in Abhängigkeit von der Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = {\hbar^2 k^2 \over 2m}

Außerhalb des Kastens, Stetigkeitsbedingung

Außerhalb des Kastens muss die Wellenfunktion aufgrund des unendlich hohen Potentials identisch Null sein.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, \psi(x) = 0\ ,\quad (x<0,\ x>L)

Da die Wellenfunktion jedoch überall stetig sein muss, werden somit Randbedingungen an die Wellenfunktion im Kasten gestellt, nämlich dass die Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, \psi(x) an den Wänden gleich 0 ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x=0)=0 \quad \mbox{ und } \quad \psi(x=L)=0 .

Randbedingung 1

Aus der ersten Randbedingung folgt für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{matrix}\psi(x=0) & = & A\sin(k\cdot0)+B\cos(k\cdot0)\\ & = & A\cdot0+B\cdot1\\ & \overset{!}{=} & 0\end{matrix} .

Damit diese Gleichung erfüllt wird, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B=0 sein. Damit vereinfacht sich die Wellenfunktion zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, \psi(x) = A \sin(kx) .

Randbedingung 2

Mit Hilfe der zweiten Randbedingung folgt dann für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \, \psi(x=L)=A\sin(kL)\,\overset{!}{=}\,0 .

Damit diese Gleichung erfüllt wird, muss $ kL $ ein ganzes Vielfaches von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi sein (die triviale Lösung A=0 würde bedeuten, dass gar keine Welle existiert), also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): kL=n\pi \quad \mbox{ wobei } \quad n=1,2,3,...

Somit darf die Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k nur diskrete Werte annehmen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k=k_n={\pi\over L}n\ ,\quad n\in\mathbb{N}

Eigentlich folgt aus der zweiten Randbedingung nur, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\in\mathbb{Z} eine ganze Zahl ist. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=0 wäre allerdings die Wellenfunktion $ \psi (x)=A\sin(0\cdot x)=0 $ überall Null und somit die Normierungsbedingung nicht zu erfüllen, also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=0 nicht erlaubt. Für negative Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n^\prime=-n<0 ist die Wellenfunktion bis auf das Vorzeichen dieselbe wie für das positive Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n , nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x)=A\sin(k_{n^\prime}x)=A\sin(-k_{n}x)=-A\sin(k_{n}x) . Da Wellenfunktionen, die sich um einen Faktor unterscheiden, denselben Zustand beschreiben, bringen die negativen ganzen Zahlen keine neuen Zustände hervor. Deshalb beschränkt man sich auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n\in\mathbb{N}

Wie oben berechnet, hängt die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E von der Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k ab, einsetzen liefert:

$ E=E_{n}={\hbar ^{2}k_{n}^{2} \over 2m}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}={h^{2} \over 8mL^{2}}n^{2}\ ,\quad n\in \mathbb {N} $

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n nur ganzzahlige Werte annehmen darf, kann die Energie ebenfalls nur bestimmte Werte annehmen. Die Energie des Teilchens ist somit gequantelt, die Energieniveaus sind „diskret“.

Normierung

Die Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A lässt sich noch über die Normierungsbedingung bestimmen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1\overset{!}{=}\int_{\mathbb{R}}\psi_{n}^{*}(x)\psi_{n}(x)\mathrm{d}x=|A|^{2}\int_{0}^{L}\sin^{2}(n\frac{\pi}{L}x)\mathrm{d}x=|A|^{2}\left[\frac{x}{2}-\frac{L}{4n\pi}\sin\left(2n\frac{\pi}{L}x\right)\right]_{0}^{L}=|A|^{2}\left(\frac{L}{2}-\frac{L}{4n\pi}\underbrace{\sin\left(2n\pi\right)}_{=0}\right)=|A|^{2}\frac{L}{2}

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A eine komplexe Zahl ist, ist nur ihr Betrag festgelegt, die Phase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi\in\mathbb{R} ist beliebig:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A=\sqrt{\frac{2}{L}}e^{i\phi}

Wellenfunktionen, die sich nur um einen konstanten Phasenfaktor unterscheiden, beschreiben denselben Zustand. Deshalb kann man $ \phi =0 $ setzen und somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A=\sqrt{\tfrac{2}{L}} reell wählen.

Zusammenfassung

Die Eigenwerte (= mögliche Energiewerte) und Eigenfunktionen (= Wellenfunktionen) des Hamiltonoperators für ein Teilchen im Kasten mit unendlich hohen Potentialwänden sind also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n = {\hbar^2\pi^2 \over 2mL^2}n^2 \ ,\quad \psi_{n}(x)=\begin{cases} \sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin(n\frac{\pi}{L}x) & ,\ (0\leq x\leq L)\\ 0 & ,\ (x<0,\ x>L)\end{cases} \ ,\quad n\in\N\setminus\{0\}

Grundzustand

Die Grundzustandsenergie (niedrigste mögliche Energie) ist nicht Null (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=0 ist wegen der Heisenbergschen Unschärferelation nicht erlaubt), sondern

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{1}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}

Dies erhält man auch aus der Betrachtung der Heisenbergschen Unschärferelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta x\Delta p\geq h/2 : Das Teilchen ist auf den Raumbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{\text{max}}=L eingeschränkt. Dann ergibt sich der minimale Impuls über $ x_{\text{max}}p_{\text{min}}=h/2 $. Innerhalb des Kastens ist das Potential gleich Null, somit ist die Gesamtenergie gleich der kinetischen Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=p^2/2m .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\text{min}}=\frac{h}{2x_{\text{max}}}=\frac{h}{2L}\quad\Rightarrow\quad E_{\text{min}}=\frac{p_{\text{min}}^{2}}{2m}=\frac{h^{2}}{8mL^{2}}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}

Dreidimensionaler Fall (Quader)

Im dreidimensionalen Kasten (Quader) sieht der Hamiltonoperator wie folgt aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x_{1}^{2}}+\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x_{2}^{2}}+\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x_{3}^{2}}\right)+V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3})

Dabei ist das Potential

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_{i}(x_{i})=\begin{cases} 0 & (0\leq x_{i}\leq L_{i})\\ \infty & (x_{i}<0,\ x_{i}>L_{i})\end{cases}

Den vollständigen Hamiltonoperator kann man mittels

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_{i}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x_{i}^{2}}+V_{i}(x_{i})

als Summe dreier eindimensionaler Hamiltonoperatoren schreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H=H_{1}+H_{2}+H_{3}\,

Separationsansatz

Die stationäre Schrödingergleichung (dreidimensional)

$ H\,\psi ({\vec {r}}\,)=E\,\psi ({\vec {r}}\,) $

lässt sich mit folgendem Produktansatz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(\vec{r}\,)=\psi_{1}(x_{1})\psi_{2}(x_{2})\psi_{3}(x_{3})

in drei eindimensionale Probleme separieren.

Setze dazu den Produktansatz in die stationäre Schrödingergleichung ein und nutze aus, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_i nur auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{i} wirkt, d. h. die anderen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{j} kann man am Hamiltonoperator vorbeiziehen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{2}(x_{2})\psi_{3}(x_{3})\, H_{1}\psi_{1}(x_{1})+\psi_{1}(x_{1})\psi_{3}(x_{z})\, H_{2}\psi_{2}(x_{2})+\psi_{1}(x_{1})\psi_{2}(x_{2})\, H_{3}\psi_{3}(x_{3})=E\psi_{1}(x_{1})\psi_{2}(x_{2})\psi_{3}(x_{3})

Teilen durch $ \psi _{1}(x_{1})\psi _{2}(x_{2})\psi _{3}(x_{3}) $ liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underbrace{\frac{H_{1}\psi_{1}(x_{1})}{\psi_{1}(x_{1})}}_{E_{1}}+\underbrace{\frac{H_{2}\psi_{2}(x_{2})}{\psi_{2}(x_{2})}}_{E_{2}}+\underbrace{\frac{H_{3}\psi_{3}(x_{3})}{\psi_{3}(x_{3})}}_{E_{3}}=E

Dabei wurden die drei Separationskonstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_1 , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_2 , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_3 definiert, deren Summe die Gesamtenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=E_{1}+E_{2}+E_{3}\,

Eindimensionale Probleme

Nun muss für jede Raumrichtung separat das eindimensionale Problem, wie oben bereits geschehen, gelöst werden:

$ H_{i}\,\psi _{i}(x_{i})=E_{i}\,\psi _{i}(x_{i}) $

Deren Lösung ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{i,l}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL_{i}^{2}}n_{i,l}^{2}\ ,\quad\psi_{i,l}(x)=\begin{cases} \sqrt{\tfrac{2}{L_{i}}}\sin(n_{i,l}\frac{\pi}{L_{i}}x) & ,\ (0\leq x_{i}\leq L_{i})\\ 0 & ,\ (x_{i}<0,\ x_{i}>L_{i})\end{cases}\ ,\quad n_{i}\in\mathbb{N}

Gesamtlösung

Die Lösung des dreidimensionalen Kastens ist für die Gesamtwellenfunktion das Produkt der eindimensionalen Wellenfunktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{l_1,l_2,l_3}(\vec{r}\,)=\psi_{1}(x_{1})\psi_{2}(x_{2})\psi_{3}(x_{3})=\begin{cases} \sqrt{\frac{8}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\sin(n_{1,l_1}\frac{\pi}{L_{1}}x_1)\sin(n_{2,l_2}\frac{\pi}{L_{2}}x_2)\sin(n_{3,l_3}\frac{\pi}{L_{3}}x_3) & ,\quad0\leq x_{1}\leq L_{1},\ 0\leq x_{2}\leq L_{2},\ 0\leq x_{3}\leq L_{3}\\ 0 & ,\quad\text{sonst}\end{cases}

und für die Gesamtenergie die Summe der eindimensionalen Energieeigenwerte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{l_1,l_2,l_3}=E_{1,l_1}+E_{2,l_2}+E_{3,l_3}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2m}\left(\frac{n_{1,l_1}^{2}}{L_{1}^{2}}+\frac{n_{2,l_2}^{2}}{L_{2}^{2}}+\frac{n_{3,l_3}^{2}}{L_{3}^{2}}\right)\ ,\quad n_{1},n_{2},n_{3}\in\mathbb{N}

Entartung

Die Energieeigenwerte können entartet sein, d. h. unterschiedliche Wellenfunktionen besitzen dieselbe Energie. Das bedeutet für den dreidimensionalen Kasten, dass unterschiedliche Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1},n_{2},n_{3} zu derselben Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{n_{1}^{2}}{L_{1}^{2}}+\tfrac{n_{2}^{2}}{L_{2}^{2}}+\tfrac{n_{3}^{2}}{L_{3}^{2}} führen.

Zum Beispiel treten für den Spezialfall des Würfels, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_1=L_2=L_3 , Entartungen auf. Die Energie ist gegeben durch:

$ E={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)\ ,\quad n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} $

Für Entartung müssen unterschiedliche Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1},n_{2},n_{3} zu derselben Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2} führen.

Der niedrigste Energiewert ist nicht entartet (= einfach entartet) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1}=n_{2}=n_{3}=1 somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=3 und $ E=3{\tfrac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}} $.

Der nächsthöhere Energiewert ist bereits dreifach entartet: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n_1,n_2,n_3)=(2,1,1),\,(1,2,1),\,(1,1,2) somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=6 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=6\tfrac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}} .

Es können auch höhere Entartungen als dreifach auftreten, z.B. 4-fach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n_1,n_2,n_3)=(3,3,3),\,(5,1,1),\,(1,5,1),\,(1,1,5) somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=27 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=27\tfrac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}} .

Dreidimensionaler Fall (Kugel)

Für den dreidimensionalen kugelförmigen Kasten mit Radius $ L $ ist es sinnvoll, den Hamiltonoperator in Polarkoordinaten darzustellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \left( \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d}{dr} \right) + \frac{1}{r^2 sin \vartheta} \frac{d}{d\vartheta} \left( sin \vartheta \frac{d}{d\vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 sin^2 \vartheta} \frac{d^2}{d\varphi^2} \right) + V

Dabei ist das Potential

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(r)=\begin{cases} 0 & (0\leq r\leq L)\\ \infty & (r > L)\end{cases}

Separationsansatz

Ebenso wie beim Wasserstoffatom kann man die Schrödinger-Gleichung in zwei unabhängige Gleichungen separieren, wobei die Wellenfunktion sich aus Produkt einer radiusabhängigen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{nl}(r) und den Kugelflächenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\vartheta, \varphi )

Dabei ist auch hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,n die Haupt- oder Energiequantenzahl, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,l die Drehimpulsquantenzahl und $ \,m $ die magnetische Quantenzahl.

Für die radiusabhängige Funktion bleibt noch folgende radiale Schrödingergleichung (wobei V = 0 innerhalb des Kastens berücksichtigt wurde):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{\hbar^{2}}{2m} \left( \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d}{dr} \right)\right) R(r) - A R(r) = E R(r)

A ergibt sich durch Lösung der winkelabhängigen Schrödingergleichung zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{l(l+1)}{r^2}

Kugelsymmetrische Lösungen

Zunächst sei nur der einfache Fall l = 0 betrachtet (s-artige Wellenfunktionen). Damit verschwindet der Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A R(r) aus der radialen Schrödingergleichung.

Zusätzlich sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(r) = r R(r) gesetzt. Es folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R(r)={u(r)\over r};\; {d\over dr}R(r)={1\over r}{d\over dr}u(r)-{u(r)\over r^2};\;

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^2{d \over dr}R(r)=r{d\over dr}u(r)-u(r);\;

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}\right)R(r)={d\over dr}\left(r{d\over dr}u(r)-u(r)\right)={d\over dr}u(r)+r{d^2 \over dr^2}u(r)-{d\over dr}u(r)= r {d^2 \over dr^2}u(r);

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}\right)R(r) = \frac{1}{r}{d^2 u(r)\over dr^2}.

Damit vereinfacht sich die radiale Schrödingergleichung zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^2}{dr^2} u(r) = E u(r)

Wie direkt ersichtlich ist, ist der Lösungsansatz für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(r) der Gleiche wie beim Teilchen im linearen Kasten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(r) = a \sin(kr) + b \cos(kr) bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R(r) = \frac{ a \sin(kr) + b \cos(kr)}{r}

R(0) muss einen endlichen Wert haben, wodurch der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): cos -Term wegfällt. Außerdem gilt die Randbedingung R(L) = 0 wegen der Stetigkeit der Wellenfunktion. Daraus folgt für k:

$ k={\frac {n\pi }{L}} $

Einsetzen von u(r) in die radiale Schrödingergleichung liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^2}{dr^2} \left( a \cdot sin(\frac{n\pi}{L}r) \right) = E_{n0} u(r) ,

woraus sich die Energieeigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{nl} mit l = 0 bestimmen lassen.

Zusammengefasst: Für l = 0 (kugelsymmetrische Lösungen) ergeben sich die Wellenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{n0} mit der Normierungskonstante a und den Energieeigenwerten $ E_{n0} $ zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{n0}(r) = a \cdot \frac{\sin(\frac{n\pi}{L}r)}{r}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{n0} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}

Nicht-kugelsymmetrische Lösung

Für l > 0 ist die Lösung der Schrödingergleichung erheblich komplizierter. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{nl}(r) ergeben sich sphärische Bessel-Funktionen j_l, die mit den normalen Bessel-Funktionen J_l folgendermaßen zusammenhängen:^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_l(r) = \sqrt{\frac{\pi}{2r}} J_{l+1/2}(r).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{nl} hängt wegen der Randbedingung $ R_{nl}(L)=0 $ quadratrisch von der jeweils n.ten Nullstelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{nl} dieser Funktionen ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{nl}={x_{nl}^2\hbar^2\over2mL^2},

wobei die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{nl} nicht analytisch zu bestimmen sind.

Modell für konjugierte Systeme

Das Teilchen im Kasten kann als einfaches Modell für ein konjugiertes Molekül, z.B. Hexatrien, verwendet werden, um dessen Energie abzuschätzen. Man nimmt an, dass sich die Elektronen in einem konjugierten Molekül in diesem frei bewegen können, aber es nicht verlassen können. Man addiert formal ein halbes Atom an jedem Ende des Moleküls. Die Länge dieses Teilchens entspricht dann dem Kasten, in dem sich das Elektron befindet.

Beispiele

Ein Beispiel aus der Kristallographie ist das Farbzentrum, bei denen ein Elektron in einer Anionen-Leerstelle eingesperrt ist und das sich in guter Näherung als ein Teilchen im Kasten beschreiben lässt. Auch die Farbigkeit von Farbstoffen mit linearen konjugierten Pi-Systemen lässt sich erfassen, indem man das Pi-System als eindimensionales Teilchen im Kastenproblem betrachtet.

Siehe auch

• Teilchen auf dem Ring
• Harmonischer Oszillator
• Anharmonischer Oszillator
• Born-von Kármán-Modell

Literatur

• Quantum mechanics, 2nd, Essex: Pearson Education 2000, ISBN 0-582-35691-1
• John H. Davies: The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction, 6th reprint, Cambridge University Press 2006, ISBN 0-521-48491-X
• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics, 2nd, Prentice Hall 2004, ISBN 0-13-111892-7

Einzelnachweise