Skaleninvarianz

Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit der Koch-Kurve

Skaleninvarianz bzw. Skalenunabhängigkeit ist ein Begriff aus der Mathematik, der Kernphysik und der Statistischen Physik bzw. Statistischen Mechanik.

Skaleninvarianz beschreibt die Eigenschaft eines Zustands, Vorgangs, Verhältnisses oder einer Situation, bei dem bzw. der auch bei Veränderung der Betrachtungsgrößen (Skalierung) die Eigenart oder Charakteristik inklusive seiner Eckwerte weitestgehend exakt gleich bleibt, so dass ein Zustand der Universalität gegeben ist.


Mathematik

Eine von der Variablen $ \!\ x $ abhängige Funktion $ \!\ f(x) $ heißt skaleninvariant, wenn die wesentlichen Eigenschaften der Funktion sich unter einer Reskalierung $ \!\ x\to ax $ nicht ändern. In der Regel versteht man darunter, dass sich $ \!\ f $ nur um einen Faktor (der von $ a $ abhängen kann) ändert:

$ \!\ f(ax) = C(a) f(x)\, . $

Das bedeutet beispielsweise, dass wichtige Eigenschaften der Funktion – wie Nullstellen, Extrema, Wendepunkte oder Pole – nicht davon abhängen, welche Skala man verwendet. Beispiele skaleninvarianter Funktionen sind die Monome $ \!\ x^p $.

Die Verallgemeinerung für Funktionen mehrerer Variablen ist offensichtlich: Die Funktion $ \!\ f(x_1, x_2, \dots, x_n) $ heißt skaleninvariant, wenn $ \!\ f(ax_1, ax_2, \dots, ax_n) = C(a) f(x_1, x_2, \dots, x_n)\, . $ Beispiele sind homogene Polynome, die p-Normen, die Mahalanobis-Distanz und der Korrelationskoeffizient.

Auch Netze, deren Verlinkungsgrad keiner Skala folgt, bezeichnet man als skaleninvariante oder skalenfreie Netze.


Kernphysik

Die räumliche Ausdehnung von Quarks in Nukleonen wird durch die sogenannte Strukturfunktion beschrieben. Aus der Invarianz dieser Strukturfunktion gegenüber dem 4er-Impulsübertrag wird postuliert, dass die Quarks als Bausteine der Nukleonen keine räumliche Ausdehnung haben, also punktförmig sind.

Statistische Physik

Systeme mit Phasenübergängen zweiter Art, d. h.: Übergänge mit kontinuierlichem Verlauf des Ordnungsparameters, zeigen am kritischen Punkt ein skaleninvariantes Verhalten der Eigenschaft, die durch den Ordnungsparameter beschrieben wird. Ein Beispiel ist der Übergang vom unmagnetischen (paramagnetischen) Verhalten zum ferromagnetischen Verhalten eines durch das Ising-Modell beschreibbaren Materials bei einer kritischen Temperatur. Bei genau dieser Temperatur ist die Verteilung von einheitlich magnetisierten Bereichen (Spin-Clustern) räumlich skaleninvariant, d. h., es gibt Cluster auf allen Größenskalen. Der Ordnungsparameter, in diesem Beispiel die Magnetisierung, ist bei der kritischen Temperatur noch Null, da es Cluster unterschiedlicher Magnetisierungsrichtungen gibt. Anschaulich: Unabhängig davon, wie nah man an das System herangeht, d. h., wie stark man es vergrößert, wird man immer das gleiche (magnetische) Bild sehen.

Siehe auch

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