Parallelepiped

Erweiterte Suche

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO3) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelepipeds aufweisen.

Parallelflach

Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind. Stellt man drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren $ \vec a, \vec b, \vec c $ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt)

Volumen

Das Volumen V ist das Produkt der Grundfläche G und der Parallelepiped-Höhe h, $ V = G \cdot h $ mit $ G = \left|\vec a \right| \cdot \left|\vec b \right| \cdot \sin \theta $ (mit θ als Winkel zwischen $ \vec a $ und $ \vec b $) und der Höhe $ h = \left| \vec c \right| \cdot \cos \alpha $. Dabei ist α der Winkel zwischen $ \vec c $ und der Höhe h.

Das Volumen kann als Determinante einer 3×3-Matrix angesehen werden, welches man auch Spatprodukt nennt.

$ V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right| $

Es seien $ \alpha=\angle(\vec b, \vec c) $, $ \beta=\angle(\vec a,\vec c) $, $ \gamma=\angle(\vec a,\vec b) $ die Winkel zwischen den Kanten. Dann ist das Volumen:

$ V = \left|\vec a \right|\left|\vec b \right|\left|\vec c \right| \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}. $

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen

$ A_O = 2 \cdot \left(\left| \vec a \times \vec b \right|+\left| \vec a \times \vec c \right|+\left| \vec b \times \vec c \right|\right) $.

Anmerkungen

  • Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
  • Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
  • Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.

Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n > 1)

Die Verallgemeinerung des Parallelepiped in den n-dimensionalen Raum heißt für $ n > 2 $ Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop. Das zweidimensionale Analogon des Parallelepiped ist das Parallelogramm.

Definition

Ein n-Parallelotop P ist das Bild des Einheitswürfels E unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel $ I^n $ ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

$ I^n := \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}\,. $

Das Parallelotop P ist ein konvexes Polytop mit $ 2^n $ Ecken. Für m < n sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

Volumen

Eine affine Abbildung $ f $ kann man schreiben als $ f(x) = A \cdot x + t $, wobei $ A $ die Abbildungsmatrix und $ t $ die Verschiebung ist. Das Volumen des Einheitswürfels ist Eins. Um das Volumen des Parallelotops P zu ermitteln, muss also untersucht werden wie stark die affine Abbildung des Volumen verändert. Da ein Volumen unabhängig von einer Verschiebung ist, steckt dieser Wert alleine in der Abbildungsmatrix. Indem man die Determinante dieser Matrix berechnet, erhält man auch den Faktor $ |\det(A)| $, um den sich das Volumen ändert. Die Striche $ |\cdot| $ bezeichnen hier den Betrag. Multipliziert man diesen Faktor mit dem Volumen des Einheitswürfels, so gilt trivialerweise $ |\det(A)| \cdot 1 = |\det(A)| $, daher gilt

$ \operatorname{vol}(P) = |\det(A)| $,

wobei $ A $ die Abbildungsmatrix der affinen Abbildung ist, die das Parallelotop $ P $ definiert.

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Literatur

Diese Artikel könnten dir auch gefallen

Die letzten News aus den Naturwissenschaften

16.06.2021
Sterne
Helligkeitseinbruch von Beteigeuze
Als der helle, orangefarbene Stern Beteigeuze im Sternbild Orion Ende 2019 und Anfang 2020 merklich dunkler wurde, war die Astronomie-Gemeinschaft verblüfft.
15.06.2021
Festkörperphysik - Quantenphysik - Teilchenphysik
Das Elektronenkarussell
Die Photoemission ist eine Eigenschaft unter anderem von Metallen, die Elektronen aussenden, wenn sie mit Licht bestrahlt werden.
15.06.2021
Festkörperphysik - Quantenoptik
Ultrakurze Verzögerung
Trifft Licht auf Materie geht das an deren Elektronen nicht spurlos vorüber.
14.06.2021
Galaxien
Entdeckung der größten Rotationsbewegung im Universum
D
11.06.2021
Sonnensysteme - Planeten - Sterne
Die Taktgeber der Sonne
Nicht nur der prägnante 11-Jahres-Zyklus, auch alle weiteren periodischen Aktivitätsschwankungen der Sonne können durch Anziehungskräfte der Planeten getaktet sein.
09.06.2021
Galaxien - Sterne - Schwarze_Löcher
Wenn Schwarze Löcher den Weg für die Sternentstehung in Satellitengalaxien freimachen
Eine Kombination von systematischen Beobachtungen mit kosmologischen Simulationen hat gezeigt, dass Schwarze Löcher überraschenderweise bestimmten Galaxien helfen können, neue Sterne zu bilden.
09.06.2021
Monde - Astrobiologie
Flüssiges Wasser auf Monden sternenloser Planeten
Monde sternenloser Planeten können eine Atmosphäre haben und flüssiges Wasser speichern.
03.06.2021
Planeten - Astrophysik - Elektrodynamik
Solar Orbiter: Neues vom ungewöhnlichen Magnetfeld der Venus
Solar Orbiter ist eine gemeinsame Mission der Europäischen Weltraumorganisation (ESA) und der NASA, die bahnbrechende neue Erkenntnisse über die Sonne liefern wird.
03.06.2021
Festkörperphysik - Quantenphysik
Quantenbits aus Löchern
Wissenschafter haben ein neues und vielversprechendes Qubit gefunden – an einem Ort, an dem es nichts gibt.
03.06.2021
Supernovae - Astrophysik - Teilchenphysik
Gammablitz aus der kosmischen Nachbarschaft
Die hellsten Explosionen des Universums sind möglicherweise stärkere Teilchenbeschleuniger als gedacht: Das zeigt eine außergewöhnlich detaillierte Beobachtung eines solchen kosmischen Gammastrahlungsblitzes.