Fresnel-Integral


Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.

Definition

Die beiden Integrale

$ \int_{-\infty}^{\infty}\cos(t^2)\,\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t = \tfrac12\sqrt{2\pi} $

heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.

Geschichte

Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale

$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\cos(2at^2)\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1 $

und

$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\sin(2at^2)\,\mathrm{d}t = \frac{a\,\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1. $

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik

Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

$ \mathcal{F}^{(j)}\equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \xi^j \mathrm{d}\xi\,. $

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante $ \mathcal{N} $ ist

$ \mathcal{N} \equiv \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}} $,

$ j $ ist eine ganze natürliche Zahl. Für $ j=0 $ ist das Integral

$ \mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi $

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

$ \int_{-\infty}^{\infty} \cos (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}} $ und
$ \int_{-\infty}^{\infty} \sin (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}\cdot \operatorname{sign}(\alpha)\,. $

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von $ \alpha $, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit $ \sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}} $ und $ -1=e^{i\pi} $ und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals

$ \mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1\,. $

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

Quellen

  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage, Springer-Verlag 2002, ISBN 3540590757, Seiten 178f.
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage, Springer-Verlag 2007, ISBN 3540404325, Seite 47.