Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan


Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $ K_0 $, und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $ K_0' $. Diese sind wie folgt definiert:

$ K_0 = V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}} $
$ K_0' = \left.\frac{\partial K}{\partial p}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}} $

Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $ K_0 $ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Größe $ K_0' $ druckunabhängig ist.

$ K(p)= K_0 + pK_0' $

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

$ p = \frac{K_0}{K_0'}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{K_0'} - 1\right] $

bzw.

$ \frac{V}{V_0} = \left[\frac{K_0'}{K_0}p+1\right]^{-\frac{1}{K_0'}} $

wobei $ V_0 $ das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

$ p = \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T $

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$ F = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\epsilon^n $

Hier sind $ a_n $ druckabhängige Koeffizienten, $ \epsilon^n $ ist die sog. Eulersche Dehnung.

$ \epsilon = \frac{1}{2}\left[1 - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}\right] $

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

$ p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right] $

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

  • F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
  • B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)