Wannier-Darstellung

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Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von BaTiO3.

Die nach dem schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind aber nicht orthonormiert. Es lässt sich jedoch eine Orthonormal-Basis lokalisierter Zustände aus den Bloch-Funktionen konstruieren.

$ \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}_{i}}\psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}}). $

Dabei ist $ \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}}) $ eine Bloch-Funktion und $ \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}) $ der zugehörige Wannier-Zustand. Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann

$ \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{{\vec {R}}_{i}}e^{i{\vec {k}}{\vec {R}}_{i}}\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}). $

Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):

$ \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i})=\sum _{n\in U}a_{n}\varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}). $

Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände $ \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}) $ dar.

Literatur

  •  Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.
  •  Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik. 6. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0144-7.
  •  Gerd Czycholl: Theoretische Festkörperphysik. 3. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-74789-5.

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