Volumenarbeit


Volumenarbeit

Dieser Artikel behandelt geschlossene Systeme, also insbesondere eine konstante Stoffmenge (vorbehaltlich chemischer Reaktionen); für strömende Systeme siehe Hydraulik.
Volumenänderungsarbeit

Die Volumenarbeit oder auch Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet), um das Volumen V1 auf das Volumen V2 zu komprimieren (V1 > V2) oder durch Expansion (V1 < V2) zu vergrößern. Im ersten Fall muss dabei Arbeit geleistet werden, im zweiten Fall wird Arbeit – das heißt Energie – frei.

$ W_\mathrm{1,2} = - \int\limits_{s} F(s) \mathrm{d}s $.

Hierbei ist F(s) die Kraft, die längs eines Weges s wirkt. Das Minuszeichen ist Konvention. So erreicht man, dass zugeführte Arbeit positiv ist (ds<0), freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält.

Vorgang ohne Reibung

Bei der reversibel, das heißt reibungsfrei und quasistatisch zugeführten Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt A wegen F = p·A und dV = A·ds (p ist der Druck und dV die Volumenänderung)

$ W_\mathrm{1,2} = - \int\limits_{V_1}^{V_2} p \mathrm{d}V $.

Die Zustandsänderung verläuft vom Punkt 1 zum Punkt 2. Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf im p-V-Diagramm entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).

Reibungsbehafteter Vorgang

Nimmt man den realen Fall, dass zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, so muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit aufgebracht werden. Diese erhöht, wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird, die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang. Die Zustandsänderung verläuft vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt also, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf im p-V-Diagramm entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist. Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit.

Einfaches Beispiel zur Berechnung

Es sei eine isotherme Verdichtung eines idealen Gases angenommen. Es gilt die Thermische Zustandsgleichung idealer Gase

$ p = {{n R T} \over{V}} $

wobei n die Molzahl ist, R die allgemeine Gaskonstante und T die absolute Temperatur. Ist die Temperatur konstant (isotherme Zustandsänderung), lässt sich durch Einsetzen dieser Gleichung das Integral lösen und man erhält:

$ W_\mathrm{1,2} = - n R T \ln \frac {V_2} {V_1} $

Statt n·R kann man auch m·Rspez einsetzen, wobei m die Masse des Stoffes und Rspez die spezifische Gaskonstante ist.

Anhand dieser Gleichung sieht man nun auch, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird und im umgekehrten Fall Arbeit geleistet werden muss. Dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist.

Siehe auch

Literatur