Quadrupol


Quadrupol

Skizze des Aufbaus eines elektrischen Quadrupols für den Spezialfall einer quadratischen Anordnung.
Die Ladung der roten Punkte beträgt +Q, die der blauen Punkte -Q.
Potential eines elektrischen Quadrupols.

Ein Quadrupol entsteht aus der nebenstehend dargestellten Anordnung zweier entgegengesetzt-gleicher Dipole mit beliebigem Abstandsvektor, typischerweise $ \vec a $ genannt.

Allgemein kann einer beliebigen Ladungs- oder Stromverteilung, sofern sie nicht bestimmte Symmetrien besitzt, in zweiter Ordnung ein Multipolmoment zugeordnet werden. Dazu wird das eigentliche Potential durch eine Taylorentwicklung genähert. Dabei ergibt sich in dieser Multipolentwicklung u.a. auch ein Quadrupolmoment.

Aufgrund des Feldes senkrecht zur Achsenrichtung wird eine Anordnung von vier abwechselnd gepolten Elektroden im Fachjargon von Teilchenphysikern verkürzt als Quadrupol bezeichnet. In Wechselstrombetrieb werden durch diese Anordnung nur Teilchen einer bestimmten Masse durchgelassen, weshalb die Anordnung in Massenspektrometern angewendet wird.

Elektrischer Quadrupol

Der elektrische Quadrupol besteht aus zwei positiv und zwei gleich stark negativ geladenen Teilchen, die zwei entgegengesetzt-gleiche Dipole bilden. Also befinden sich die vier Ladungen in alternierender Anordnung an den Ecken eines Parallelogramms (in der Regel sogar eines Quadrates). Mathematisch präzise wird die Definition durch einen als „Quadrupol-Limes“ bezeichneten Grenzwertprozess, bei welchem der Flächeninhalt des Parallelogramms gegen Null konvergiert, während gleichzeitig die Ladungsstärke der an den Ecken des Parallellograms befindlichen Ladungen divergiert, und zwar so, dass das Produkt konstant bleibt, etwa   $ \{\lim_{a\to 0;\, a^2 Q = \rm{konst.}}\dots\} \, , $ wobei die Konstante positiv sein soll.

Das Potential ergibt sich als Überlagerung (Superposition) der Dipolpotentiale ΦD mit entsprechenden Gewichtungsfaktoren:

$ \begin{matrix} \phi_Q(\vec{r}) & = & \left(\vec r + \dfrac{\vec a}{2} \right) \phi_D - \left(\vec r - \dfrac{\vec a}{2} \right) \phi_D \\ \ & = & \vec a \cdot \nabla \phi_D + \mathcal{O}(|\vec a|^3) \end{matrix} $

Beim Übergang zur letzten Gleichung wurde die Taylorentwicklung benutzt und Terme der Größenordnung $ |\vec a|^3 $ wurden vernachlässigt.

Aus der Multipolentwicklung erhält man den Quadrupolmomenttensor Q mit $ Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} \, r_{il} - (r_i)^2 \, \delta_{kl}) $ bzw. $ Q_{kl} = \int \rho(\mathbf r') \cdot (3r'_k \, r'_l - (r')^2 \, \delta_{kl}) \cdot d^3r' $ für kontinuierliche Ladungsverteilungen. So lässt sich das Potential auch alternativ darstellen als

$ \phi_Q(\vec r) = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\frac{\vec r^T \cdot Q \cdot \vec r}{r^5} = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\frac{\vec r_i Q_{ij} \cdot r_j}{r^5} $.

Magnetischer Quadrupol

Der magnetische Quadrupol besteht aus zwei entgegengesetzt gerichteten magnetischen Dipolen im Abstand $ \vec a $.

Anwendungen:

Gravitationswellen

Im Gegensatz zum Elektromagnetismus besitzt die Gravitation nur positive Ladungen (Massen). Daher ist die Definition eines gravitativen Quadrupols wie oben über zwei Dipole nicht möglich. Dennoch besitzen Massenverteilungen ein Quadrupolmoment. Die niedrigste Ordnung von Gravitationswellen ist eine Quadrupolstrahlung, die in der Form der Ausbreitung der elektromagnetischen Quadrupolstrahlung entspricht.[1]

Höhere Multipole

Analog können höhere Multipole behandelt werden, sog. Oktupole  beispielsweise durch alternierende Punktladungen auf den acht Ecken eines Parallelepipeds, z. B. eines Würfels der Kantenlänge a, mit dem „Oktupol-Limes“  $ \{\lim_{a\to 0; \, a^3 Q = \rm{konst.}}\dots\} $ (oder allgemeiner: ein einziger 2l-Pol wird angenähert durch Überlagerung zweier verschobener 2(l-1)-Pole mit entgegengesetztem Vorzeichen).

Fachliteratur

  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4

Einzelnachweise

  1.  Ulrich E. Schröder: Gravitation: Eine Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1798-7, S. 133 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Weblinks

 Commons: Quadrupoles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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