Péclet-Zahl

Die Péclet-Zahl (nach Jean Claude Eugène Péclet) ist eine dimensionslose Kennzahl, welche bei Transportprozessen das Verhältnis von konvektiven zu diffusiven Flüssen auf einer charakteristischen Länge $L$ wiedergibt. Sie findet sowohl bei Fragen des Wärme- wie auch des Stofftransportes Verwendung und wird mit $P e$ abgekürzt.

Wärmetransport

In der Thermodynamik entspricht die Péclet-Zahl dem Produkt von Reynolds-Zahl $R e$ und Prandtl-Zahl $P r$ und ist definiert als:

P e = \frac{L \cdot v}{a} = \frac{L \cdot v \cdot ρ \cdot c_{p}}{λ} = \frac{L^{2} \cdot ρ \cdot c_{p}}{λ \cdot t} = R e \cdot P r

Mit:

$a$ - Temperaturleitfähigkeit (in SI-Einheiten: m²/s)
$λ$ - Wärmeleitfähigkeit (in SI-Einheiten: W/(m K))
$ρ$ - Dichte (in SI-Einheiten: kg/m³)
$c_{p}$ - spezifische Wärmekapazität (in SI-Einheiten: J / (kg K))
$L$ - Charakteristische Länge (in SI-Einheiten: m)
$t$ - Charakteristische Zeit (in SI-Einheiten: s)
$v$ - Geschwindigkeit (in SI-Einheiten: m/s)

Stofftransport

Bei Stofftransport ergibt sich die Péclet-Zahl als Produkt von Reynolds-Zahl und Schmidt-Zahl $S c$ und ist definiert als:

P e = \frac{L \cdot v}{D} = R e \cdot S c

.

Mit:

$D$ - Diffusionskonstante (in SI-Einheiten: m²/s)

Anwendung findet die Péclet-Zahl zum Beispiel bei der numerischen Berechnung von Transportprozessen. Aufgrund des gleichzeitigen Vorkommens von advektiven und diffusiven Flüssen sind die beschreibenden Differentialgleichungen von einem gemischt hyperbolisch-parabolischem Typ. Die Berechnung der Péclet-Zahl erlaubt dann eine Abschätzung, welcher Typ überwiegt und daher die Wahl eines geeigneten numerischen Verfahrens.

Numerik

Löst man nun die advektive-konvektive Transportgleichung mittels eines Finite Differenzen- oder Finite Elemente-Verfahrens auf einem diskreten Gitter, so definiert man eine sogenannte Zellen- Péclet-Zahl, in der die charakteristische Länge $L$ dann die Zellengröße des Gitters $Δ x$ darstellt. Sie ergibt sich damit als

P e = \frac{Δ x \cdot v}{D} = \frac{Δ x \cdot v}{a}

.

Für die Garantie der Stabilität des numerischen Verfahrens muss dann sichergestellt werden, das die Zellen- Péclet-Zahl stets kleiner als eine obere Schranke (je nach Art der numerischen Methode meistens <2) ist. Dies bedeutet dann, dass bei konvektiv-dominantem Transport, d.h. großes $v$ bzw. kleines $a$ oder $D$ in obiger Formel, die Zellengröße u. U. sehr klein gewählt werden muss, was den numerischen Aufwand beträchtlich erhöhen kann.

Siehe auch: Wärmeübertragung, Wärmeübergangszahl, Dimensionsanalyse.