Oktaeder

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Regelmäßiges Oktaeder
120px-Octahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 8
Anzahl der Ecken 6
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {3,4}
dual zu Hexaeder (Würfel)
Netz Octahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 4
Anzahl Ecken einer Fläche 3
Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Bipyramide bilden.

Das (auch, v. a. österr.: der) Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (von griech. oktáedron ‚Achtflächner‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit

  • acht (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
  • zwölf (gleich langen) Kanten und
  • sechs Ecken, in denen jeweils vier Flächen zusammentreffen

Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

  • drei vierzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
  • vier dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen)
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
  • neun Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

und ist

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaeder- oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt).

Setzt man auf die Seiten des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht das Sterntetraeder.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

  • das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
  • das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
  • den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Formeln

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen $ V = \frac{a^3}{3} \sqrt{2} $
Oberflächeninhalt $ O = 2a^2 \sqrt{3} = V\,'(\rho) $
Umkugelradius $ R = \frac{a}{2} \sqrt{2} $
Kantenkugelradius $ r = \frac{a}{2} $
Inkugelradius $ \rho = \frac{a}{6} \sqrt{6} $
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
$ \frac{V}{V_{UK}} = \frac{1}{\pi} $
Flächenwinkel
 ≈ 109° 28' 16"
$ \cos \, \alpha = -\frac{1}{3} $
3D-Kanten-Winkel
 = 90°
$ \cos\, \gamma = 0 $
Eckenraumwinkel
 ≈ 0,4327 π
$ \cos\, \Omega = \frac{17}{81} $

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das n-dimensionale Kreuzpolytop hat $ 2n $ Ecken und wird von $ 2^n $ (n−1)-dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. (Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat.)

Ein Modell für das n-dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der l1-Norm

$ \left\| x \right \|_1 = \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert $ für $ x = ( x_1 ,\dots, x_n) \in \mathbb R^n $

im Vektorraum Rn. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

  • die Menge
$ \left\{ x \in \mathbb R^n \mid \left\|x\right\|_1 \le 1 \right\} = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert \le 1 \right\} $.
  • die konvexe Hülle der 2n Eckpunkte $ \pm e_i $, wobei $ e_i $ die Einheitsvektoren sind.
  • der Durchschnitt der 2n Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form
$ \pm x_1 +\cdots+ \pm x_n = 1 $
bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das Volumen des n-dimensionalen Kreuzpolytops beträgt $ \frac{(2r)^{n}}{n!} $, wobei r > 0 der Radius der Kugel um den Ursprung bezüglich der l1-Norm ist. Die Beziehung lässt sich mittels Rekursion und dem Satz von Fubini beweisen.

Anwendungen

Oktaedrische Alaunkristalle

In der Chemie können sich bei der Vorhersage von Molekülgeometrien nach dem VSEPR-Modell oktaedrische Moleküle ergeben. Auch in Kristallstrukturen, wie der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der Elementarzelle auf; genauso in der Komplexchemie, falls sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommende Minerale, z. B. das Alaun, kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische Spielewürfel verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

Weblinks

 Commons: Oktaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Vorlage:Commonscat/WikiData/Difference
Wiktionary Wiktionary: Oktaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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