Normalschwingung


Normalschwingung

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Die Normalschwingung in einem oszillierenden System ist eine spezielle Lösung, bei der alle Teile eines Systems mit derselben Frequenz (Normalfrequenz oder erlaubte Frequenz) schwingen. Die Normalschwingung kann als Resonanzfall bzw. Schwingungseigenform oder Normalmode des schwingfähigen Systems aufgefasst werden.

Das Konzept der Normalschwingungen ist von zentraler Bedeutung in der Wellenlehre, Optik und Quantenmechanik.

Jede harmonische Schwingung eines Systems, also auch wenn es Impulse abgibt (z. B. modengekoppelter Laser), kann z. B. mittels der Fouriertransformation aus einer Linearkombinationen seiner Normalschwingungen beschrieben werden.

Zum Ermitteln der Normalschwingungen können die Systeme auf ihr Verhalten bei Anregung mit einer variablen Frequenz hin untersucht werden.

Zur Berechnung solcher harmonischer Oszillatoren werden Werkzeuge aus der Linearen Algebra und lineare Mengen von Differentialgleichungen verwendet. Man kann das Problem als Matrix-Vektor-Gleichung formulieren und dann ihre Eigenvektoren berechnen. Damit sind die Normalschwingungen die Eigenvektoren und die Normalfrequenzen sind die Eigenwerte.

Normalschwingungen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion $ \psi(x,t) $ beschrieben, die eine Lösung der Schrödingergleichung darstellt. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, d.h.

$ \ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2 $,

ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen an einem Ort x zur Zeit t wahrzunehmen.

Normalerweise, wenn man irgendeine Art von Potential einführt, wird die Wellenfunktion in eine Superposition von Eigenzuständen zerlegt, wobei jeder Eigenzustand mit einer Frequenz $ \omega = E_n / \hbar $ oszilliert. Deshalb schreibt man

$ |\psi (t) \rang = \sum_n |n\rang \left\langle n | \psi ( t=0) \right\rangle e^{-iE_nt/\hbar} $.

Die Eigenzustände haben eine physikalische Bedeutung, die über die einer Orthonormalbasis hinaus geht. Wenn eine Messung in der Quantenmechanik stattfindet, zerfällt die Wellenfunktion in einen ihrer Eigenzustände. Somit wird die Wellenfunktion des Teilchens nur durch den Eigenzustand beschrieben, der der gemessenen Energie entspricht.

Normalschwingungen von Molekülen

Ein N-atomiges Molekül hat $ 3N-6 $ Normalschwingungen, auch Freiheitsgrade genannt, ein lineares Molekül $ 3N-5 $. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Eine Normalschwingung stellt eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar. Die Frequenz $ f $ bzw. die Wellenzahl ν der jeweiligen Normalschwingung berechnet sich dem Modell des harmonischen Oszillators nach:

$ f= \nu c = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}} $

wobei $ c $ die Lichtgeschwindigkeit, $ k $ die Kraftkonstante und $ \mu $ die reduzierte Masse darstellen.

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