Charaktertafel


Charaktertafel

Eine Charaktertafel enthält Informationen über die irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe. In der Chemie kann man mit ihrer Hilfe Aussagen über Eigenschaften von Molekülen basierend auf der zugehörigen Punktgruppe machen.

Die eigentliche Charaktertafel einer Gruppe $ G $ ist eine quadratische Tabelle mit komplexen Zahlen als Einträgen. Die Zeilen entsprechen den irreduziblen Darstellungen von $ G $, die Spalten den Konjugationsklassen in $ G $. Der Tabelleneintrag zur Darstellung $ \rho $ und Konjugationsklasse $ C $ ist der Wert des zu $ \rho $ gehörenden Charakters, ausgewertet auf einem beliebigen Element von $ C $.

Anwendung in der Chemie

Schließt man nun aus den Symmetrieelementen oder unter Zuhilfenahme des Schoenflies-Schemas auf die Punktgruppe eines Moleküls, kann man mit Hilfe der Charaktertafel auf bestimmte Eigenschaften des Stoffes schließen.

Beispiel

  • Charaktertafel der $ C_{2v} $-Punktgruppe
$ C_{2v} $ $ E $ $ C_2 $ $ \sigma_v(xz) $ $ \sigma_v'(yz) $
$ A_1 $ $ 1 $ $ 1 $ $ 1 $ $ 1 $ $ z $ $ x^2,y^2,z^2 $
$ A_2 $ $ 1 $ $ 1 $ $ -1 $ $ -1 $ $ R_z $ $ xy $
$ B_1 $ $ 1 $ $ -1 $ $ 1 $ $ -1 $ $ x, R_y $ $ xz $
$ B_2 $ $ 1 $ $ -1 $ $ -1 $ $ 1 $ $ y, R_x $ $ yz $

Die erste Bezeichnung ist die Punktgruppe, in der ersten Zeile stehen die Symmetrieelemente R, die in ihr enthalten sind. Kommt ein Symmetrieelement n-mal vor, dann schreibt man $ n R $. Die Anzahl der Symmetrieelemente ist die Ordnung der Gruppe h. In der ersten Spalte stehen die irreduziblen Darstellungen $ \Gamma_i $. In den folgenden Spalten stehen die Charakter $ \chi^R $ (hier: -1 und +1). In den letzten beiden Spalten stehen die Basen der irreduziblen Darstellungen, bzw. Orbitale die sich wie eine irreduzible Darstellung transformieren. Man sagt z. B. die Drehung um die z-Achse $ R_z $ transformiert wie $ A_2 $.

Rotationen und Schwingungen

  • Die Angaben $ R_x $ , $ R_y $ und $ R_z $ beziehen sich auf Molekülrotationen in x-, y- und z-Richtung, die wie die irreduziblen Darstellungen transformieren. z. B. transformiert bei einem Molekül der Punktgruppe $ C_{2v} $ die Rotation um die z-Achse $ R_z $ wie $ A_2 $.

Die Eigenschwingungen des Moleküls transformieren ebenfalls wie eine der irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe des Moleküls.

Orbitale

Die Symmetrie der Basis-Orbitale eines Moleküls lassen sich ebenfalls einer irreduziblen Darstellung der Punktgruppe zuordnen. Hat ein Charakter bei einer bestimmten Darstellung und einem bestimmten Symmetrieelement z. B. den Charakter „+1“, dann ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion bei Anwendung dieses Symmetrieelements nicht. Ist er „-1“ dann ändert es sich.

Beispiel

Ein Molekül gehöre zur Punktgruppe $ C_{2v} $ (siehe Charaktertafel oben). Zu seinem Basissatz gehöre das $ p_x $-Orbital, das auf der x-Achse liegt und wie $ B_1 $ transformiert. Spiegelung an der xz-Spiegelebene bewirkt keine Änderung des Orbitals, es wird auf sich selbst abgebildet, der Charakter ist „+1“. Spiegelt man das x-Orbital dagegen an der yz-Ebene, ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion, der Charakter ist also „-1“, wie aus der Charaktertafel erkennbar.

Reduzible und irreduzible Darstellungen, ausreduzieren

Eine irreduzible Darstellung $ \Gamma_{red} $ besitzt nur $ {0} $ und $ L $ als invariante Unterräume. Alle anderen Unterräume mixen. Eine reduzible Darstellung zerfällt in verschiedene Unterräume.

Wenn eine Darstellung $ \rho $ vollständig reduzibel ist, kann sie als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen betrachtet werden. Nicht jede reduzible Darstellung ist vollständig reduzibel.

Bei vollständig reduzibeln Darstellungen können die Anteile $ a_i $ der irreduziblen Darstellungen in einer reduziblen Darstellung durch Raten oder folgende Formel ermittelt werden:

$ a_i = {1 \over h} \sum_{R} \chi^R \chi_i^R $

Dabei muss die Häufigkeit eines Elements n (s.o.) mitberücksichtigt werden. h ist die Ordnung der Gruppe, $ \chi_i^R $ der Charakter der jeweiligen irreduziblen Darstellung $ \Gamma_i $ und $ \chi^R $ der Charakter der reduziblen Darstellung $ \Gamma_{red} $.

$ \Gamma_{red} = \sum_{R} a_i \Gamma_i $

Siehe auch

Literatur

  • J. H. Conway: Atlas of Finite Groups, Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Clarendon Press, Oxford 1985, ISBN 0-198-53199-0.