Mohrscher Spannungskreis


Mohrscher Spannungskreis

Beispiel für den mohrschen Spannungskreis
Datei:Spannungszustand-gedreht.svg
Spannungszustand im gedrehten Schnitt
Datei:Koordinatendrehung Spannung.svg
Gedrehtes Koordinatensystem (schiefer Schnitt)

Der mohrsche Spannungskreis ist ein von Christian Otto Mohr entwickeltes Verfahren zur geometrischen Darstellung von Normal- und Schubspannungen innerhalb eines von Kräften und Momenten belasteten Querschnitts. In analoger Weise können mit dem mohrschen Trägheitskreis die Flächenträgheits- und die Flächenzentrifugalmomente einer beliebigen Fläche bestimmt werden.

In der Festigkeitslehre kann das Verfahren angewendet werden, um mechanische Belastungen in einem Werkstück zu bestimmen. Dabei wird beispielsweise ein Stab in einem Winkel φ geschnitten und die auftretenden Normal- und Schubspannungen in Abhängigkeit von diesem Winkel im Spannungskreis aufgetragen.

Ebener Spannungszustand

Die beiden Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand sind durch die Formel

$ {\sigma_{1,2} = \atop \ } {\underbrace{\frac{1}{2} \left ( \sigma_{xx} + \sigma_{yy} \right )} \atop \text{Kreismittelpunkt}} {\pm \atop \ } { \underbrace{\sqrt{ \left [ \frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2} \right ]^2 + \tau_{xy}^2}} \atop \text{Kreisradius}} $

zu bestimmen. Die Ergebnisse werden so sortiert, dass $ \sigma_1 \ge \sigma_2 $ ist. Hauptspannungen sind diejenigen Spannungen, die bei einem bestimmten Winkel φ auftreten, für den die Schubspannungen verschwinden.

Die Winkel, unter denen die Hauptspannungen auftreten, sind durch

$ \tan 2\varphi_{1,2} = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}} $

gegeben. Diese Bestimmung liefert aufgrund der Eigenschaften des Tangens kein eindeutiges Ergebnis; Die Winkel lassen sich jedoch auch aus dem Spannungskreis ablesen: Dazu lässt man den Punkt $ (\sigma_{\xi\xi},\tau_{\xi\eta}) \, $ entlang der Kreisbahn nach unten wandern, bis er über σ1 und σ2 streicht. Der an diesen Punkten gefundene Winkel entspricht 2φ – er muss also noch halbiert werden.

Im ebenen Spannungszustand lassen sich die maximalen Schubspannungen wie folgt berechnen:

$ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} = \sqrt{ \left [ \frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\right ]^2 + \tau_{xy}^2} $

Sie treten im Winkel φ' auf, der um 45° gegen die Hauptspannungsrichtungen geneigt ist.

Zur Berechnung der Spannungen in einem beliebigen Schnittwinkel φ können folgende Formeln verwendet werden:

$ \sigma_{\xi\xi} = \frac{1}{2}(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) + \frac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}) \cos 2\varphi + \tau_{xy}\sin 2\varphi $
$ \sigma_{\eta\eta} = \frac{1}{2}(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) - \frac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}) \cos 2\varphi - \tau_{xy}\sin 2\varphi $
$ \tau_{\xi\eta} = - \frac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}) \sin 2\varphi + \tau_{xy}\cos 2\varphi $

Es lässt sich zeigen, dass die Summe der Spannungen im gedrehten Schnitt gleich der Summe der Spannungen im ungedrehten System sind:

$ \sigma_{\xi\xi} + \sigma_{\eta\eta} = \sigma_{xx} + \sigma_{yy} \, $

Sonderfälle

  • Bei einem Zugstab liegt der Spannungskreis vollständig auf der rechten Seite des Koordinatensystems, da σ1 > 0 und σ2 = 0 ist. Ist ein Druckstab gegeben, so liegt der Spannungskreis komplett im negativen Bereich des Koordinatensystems. Hier ist σ1 = 0 und σ2 < 0.
  • Treten nur Schubspannungen auf, so liegt der Mittelpunkt des Spannungskreises im Ursprung des Koordinatensystems.
  • Bei hydrostatischem Druck ist die Schubspannung τ = 0; Der Spannungskreis entartet aufgrund des nun nicht mehr vorhandenen Radius zu einem Punkt.

Mohr-coulombsches Bruchkriterium (Schergesetz)

Datei:MohrCoulBruchkrit.svg
Mohr-coulombsches Bruchkriterium
Schergesetz von Coulomb. Bei Scherspannungen oberhalb der blauen Linie kommt es zu bleibenden Verformungen.

Siehe auch: Schergesetz

Das Mohr-coulombsche Bruchkriterium besagt, dass ein Bruch eines Festkörpers (Boden, Fels usw.) dann eintritt, wenn die Schubspannungen aus der äußeren Belastung größer als die Festigkeitsgrenze des inneren Scherwiderstandes werden, die definiert ist durch die Gleichung:

$ \tau = \sigma \cdot \tan \varphi + c $

φ ist der innere Reibungswinkel und c die Kohäsion. Diese Geradengleichung der sogenannten „Bruchgeraden“ oder Coulombschen Schergeraden lässt sich im Mohrschen Diagramm darstellen. In diesem Diagramm bedeutet das Bruchkriterium, dass der Mohrsche Spannungskreis jedes Bodenteilchens unter der Bruchgeraden liegen muss, damit kein Bruch eintritt. Berührt er sie, ist der Grenzzustand gerade erreicht. Spannungskreise, die über die Schergerade liegen, kann es nicht geben, denn der Boden würde ausweichen. Die Bodenprobe (z. B. in einem Prüfgerät wie einem Triaxialgerät) schert entlang einer Bruchfläche ab, das heißt sie bricht.

Aus dem mohrschen Spannungskreis lässt sich auch die Druckfestigkeit eines Materials als Funktion der Scherparameter c und φ ableiten. Der mohrsche Kreis wird für den Bruchzustand des Materials gezeichnet. Nach dem mohr-coulombschen Bruchkriterium beschreibt die Tangente (Bruchgerade) an den Kreis unter dem Winkel φ zur horizontalen und ihr Schnittpunkt mit der vertikalen Koordinatenachse mit dem Abstand c zum Nullpunkt den Bruchzustand. Die größte aufnehmbare Druckspannung $ \sigma_{d} $ ist dann der rechts liegende Schnittpunkt des Kreises mit der horizontalen Koordinatenachse. In Formeln ausgedrückt gilt für die einaxiale Druckfestigkeit:

$ \sigma_\mathrm{d} = c \cdot \frac{2 \cdot \cos \varphi}{1 - \sin \varphi} $

wobei $ \sigma_{3} = 0 $ ist (siehe Abbildung),

und für die zweiaxiale Druckfestigkeit:

$ \sigma_\mathrm{d} = \frac{1 + \sin \varphi}{1 - \sin \varphi} \cdot \sigma_{3} + c \cdot \frac{2 \cdot \cos \varphi}{1 - \sin \varphi} $

Literatur

  • F. Jung: Der Culmannsche und der Mohrsche Kreis. In: Österreichisches Ingenieur-Archiv. 1, Nr. 4–5, 1946/47, ISSN 0369-7819, S. 408–410.

Siehe auch

Weblinks