Liouville-Gleichung


Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt. Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, das heißt, dass der Fluss durch den Phasenraum volumen- und sogar orientierungserhaltend ist.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $ \rho $ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Für die zeitliche Entwicklung eines solchen Ensembles gilt

$ \frac{d \rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial \rho }{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho }{\partial p_{i}}\dot{p}_{i}\right] =0, $

wobei die $ q_i $ und $ p_i $ die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des $ i $-ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen. Unabhängig vom gewählten Ensemble verschwindet die totale zeitliche Ableitung, was bedeutet, dass sich entlang einer Phasenraumtrajektorie die Phasenraumdichte nicht verändert. Ersetzt man $ \dot q_i $ und $ \dot p_i $ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

$ \frac{\partial}{\partial t}\rho(\tau,t)=-\{\,\rho(\tau,t) ,H\,\}=\{\,H,\rho(\tau,t)\,\}, $

wobei H die Hamilton-Funktion und $ \tau $ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Die Liouvillegleichung kann auch bei Einführung des Liouvilleoperators

$ L=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q^{i}}-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right]=\{\cdot, H \} $

wie folgt geschrieben werden:

$ \frac{\partial \rho }{\partial t} = -{L}\rho $

Quantenmechanische Gleichung

$ \frac{\partial}{\partial t}\rho=\frac{i}{\hbar}[\rho,H] $

Hier bezeichnet H den Hamilton-Operator, $ \rho $ die Dichtematrix und die eckigen Klammern den Kommutator. Diese Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Man kann formal wie im Fall der klassischen Mechanik einen Liouville-Operator $ L $ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator $ A $ über $ L A = \frac{i}{\hbar}[A,H] $. Dann schreibt sich die von Neumann Gleichung:

$ \frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{i}{\hbar}[\rho,H] = L \rho $

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen der klassischen Poisson-Klammer und dem Hamilton-Operator hergeleitet werden:

$ \lim\limits_{\hbar \rightarrow 0}~ \frac{i}{\hbar} [\hat{A},\hat{B}] = \{{A}_w,{B}_w\} $

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004

Siehe auch

  • Satz von Liouville (Physik)