Inkompressibilität


Inkompressibilität

Mögliche Verformung eines Volumenelements eines inkompressiblen Stoffes

Inkompressibilität bezeichnet die Eigenschaft eines Stoffes, unter Druckeinwirkung keine Volumenänderung aufzuzeigen, sich also nicht komprimieren zu lassen. Das Volumen besteht hierbei aus immer denselben Teilchen. Alle realen Materialien sind kompressibel. Festkörper und Flüssigkeiten sind gegenüber Gasen nahezu inkompressibel und werden zur mathematischen Vereinfachung gegenüber Gasen als inkompressibel betrachtet. Gase haben bei Normaldruck eine um den Faktor 1000 bis 10.000 höhere Kompressibilität als die meisten Flüssigkeiten. Flüssigkeiten sind meist zehnmal kompressibler als Festkörper.

Während für Fluide meist die isotherme Kompressibilitat als Größe angeben wird, gibt man bei Festkörpern den reziproken Wert an, den isothermen Kompressionsmodul. Inkompressibilität steht also für die Näherung eines unendlich hohen Kompressionsmoduls. Inkompressible Körper erfahren durch Druckänderung keine Volumenänderung. Sie können jedoch eine Gestaltänderung erfahren. Gummi wird häufig als inkompressibel betrachtet, weil der Kompressionsmodul im Vergleich zum Schermodul sehr groß ist.

Zur Vereinfachung mathematischer Gleichungen wird, unter Annahme einer inkompressiblen Flüssigkeit, in der Hydrodynamik folgende mathematische Formulierung für die Inkompressibilität verwendet:

$ \vec\nabla\cdot\vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} =0 \qquad \qquad (1) $,

wobei $ \vec v=(v_x,v_y,v_z) $ die Stromgeschwindigkeit ist. Diese Beziehung nennt man Divergenzfreiheit.

Das Bild oben rechts versucht diesen Zusammenhang zu verdeutlichen. Es ist ersichtlich, dass eine z. B. beidseitige horizontale Strömung mit der Geschwindigkeitskomponente $ v_x $ und $ v_y $ in das Volumenelement hinein sofort eine gleichzeitige vertikale Strömung mit der Geschwindigkeitskomponente $ v_z $ zur Folge hat.

Gleichung (1) wurde mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

$ {\partial \rho \over \partial t} = - \nabla \cdot ( \rho \vec v ) = - \vec v \cdot \nabla \rho - \rho \nabla \cdot \vec v. \qquad \qquad (2) $.

hergeleitet. Für inkompressible Strömung bedeutet die Definition für ein Teilchen, dass sich seine Dichte nicht ändert:

$ \frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\rho(t,\mathbf x(t)) = {\partial \rho \over \partial t} + \vec v \cdot \nabla \rho = 0 \qquad \qquad (3) $.

Der Vergleich von (2) und (3) führt unmittelbar zu Gleichung (1).

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