Hohenberg-Kohn-Theorem

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Das Hohenberg-Kohn-Theorem (nach Walter Kohn und Pierre Hohenberg) besagt, dass es zu einem Potential $ V(\vec r) $ im Grundzustand eines Systems von N Elektronen nur eine Elektronendichteverteilung $ n(\vec r) $ gibt. In dieser Formulierung gilt das Hohenberg-Kohn-Theorem nur für einen nicht entarteten Grundzustand. Dadurch ergibt sich eine Vereinfachung, da man statt mit 3N Variablen nur noch mit 3 Variablen rechnen muss. Das Hohenberg-Kohn-Theorem ist eine wichtige Grundlage der Dichtefunktionaltheorie (DFT), die z. B. Anwendung in quantenchemischen Berechnungen von Molekülen und Festkörpern findet.

Beweis (reductio ad absurdum)

Annahme: Grundzustand $ \Psi_1 $ nicht entartet mit Hamiltonoperator $ \hat H_1 $ und Potential $ V_1(\vec r) $

Es gilt $ E_1 = \langle \Psi_1|\hat H_1|\Psi_1 \rangle = \int V_1(\vec r) n(\vec r) \, \mathrm{d^3}r + \langle \Psi_1|(\hat T + \hat U)|\Psi_1 \rangle $

mit $ \hat T $: kinetische Energie, $ \hat U $ beschreibt die Wechselwirkung der Elektronen

Zu widerlegende Behauptung: Es gibt ein Potential $ V_2(\vec r) \ne V_1(\vec r) $, das zur selben Dichte führt.


Mit dem Rayleigh-Ritz-Prinzip folgt, wenn sich die Systeme nur durch das Potential unterscheiden:

$ E_1 < \langle \Psi_2|\hat H_1|\Psi_2 \rangle = \langle \Psi_2|\hat H_2|\Psi_2 \rangle + \langle \Psi_2|\hat H_1 - \hat H_2|\Psi_2 \rangle = E_2 + \int (V_1(\vec r) - V_2(\vec r)) n(\vec r) \, \mathrm{d^3}r $

Dabei ist $ \Psi_2 $ die Grundzustandswellenfunktion zum Hamiltonoperator $ \hat H_2 $.

Analog ergibt sich:

$ E_2 < \langle \Psi_1|\hat H_2|\Psi_1 \rangle = E_1 + \int ( V_2(\vec r)-V_1(\vec r) ) n(\vec r)\, \mathrm{d^3}r $

Durch Addition der beiden Ungleichungen folgt:

$ E_1 + E_2 < E_1 + E_2 $

Die Annahme war also falsch und das Hohenberg-Kohn-Theorem ist damit bewiesen.

Zwei Theoreme

Es handelt sich eigentlich um zwei H-K Theoreme. Das erste zeigt die Existenz einer eineindeutigen Abbildung zwischen der Grundzustands-Elektronendichte und der Grundzustands-Wellenfunktion des Vielteilchen-Systems für einen nicht entarteten Grundzustand. Das zweite Theorem beweist, dass die Grundzustandsdichte die Gesamtenergie des Systems minimiert.

Literatur

  • P. Hohenberg and W. Kohn: Inhomogeneous Electron Gas. Phys. Rev. 136 (1964) B864-B871

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