Bloch-Kugel


Bloch-Kugel

Bloch-Kugel

Die Bloch-Kugel wird in der Quantenmechanik verwendet, um den Zustand eines Zweizustandssystems (beispielsweise ein Qubit) grafisch darzustellen. Benannt wurde sie nach dem Physiker Felix Bloch, der diese übersichtliche Illustration für Überlagerungen von Zuständen entwickelte. Es handelt sich hierbei um eine geometrische Darstellung, mit deren Hilfe der Zustand eines Zweizustandssystems als Punkt auf der Oberfläche der Bloch-Kugel gekennzeichnet wird.

Anschauliche Darstellung

Der Einfachheit halber kann man sich die Bloch-Kugel wie die Erde mit Nord- und Südpol vorstellen. Die beiden Pole entsprechen dann den Vektoren einer vorgegebenen Basis, aus denen die Überlagerungen gebildet werden. Punkten, die auf dem Äquator der Bloch-Kugel liegen, entsprechen jene Zustände, die zu gleichen Anteilen aus beiden Basiszuständen bestehen. Die Punkte, die auf der Nordhalbkugel liegen, setzen sich zum größeren Teil aus dem Basiszustand des Nordpols zusammen und Punkte auf der Südhalbkugel setzen sich zu einem größeren Teil aus dem Basiszustand des Südpols zusammen.

In der rechten Abbildung sind die Standard-Basisvektoren $ |0\rangle,|1\rangle $ sowie der sogenannte Bloch-Vektor $ |\psi\rangle $ eingezeichnet, wobei der Vektor $ |\psi\rangle $ wie folgt definiert ist:

$ |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2} |0 \rangle \, + \, e^{i \varphi} \sin\frac{\theta}{2} |1\rangle $

Die kartesischen Koordinaten dieses Vektors sind $ \left( \sin\theta\cos\varphi ,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta \right) $.

Zusammenhang mit der Riemannschen Zahlenkugel

Die Linearkombination der den beiden Polen zugeordneten Zustandsvektoren (nachfolgend durch $ \left|\uparrow\right\rangle $ und $ \left|\downarrow\right\rangle $ bezeichnet) kann, weil es bei einem Quantenzustand nicht auf die Phase ankommt und der Betrag des Ergebnisses auf eins normiert wird, mit einer einzigen komplexen Zahl $ c $ wie folgt dargestellt werden:

$ \left|\Psi\right\rangle = \frac{\left|\uparrow\right\rangle + c \left|\downarrow\right\rangle}{\sqrt{1+\left|c\right|^2}} $

Man beachte, dass der Zähler dieses Bruches ein Vektor ist, der Nenner aber nur eine für die Normierung erforderliche Zahl.

Die Bloch-Kugel ist nun die Riemannsche Zahlenkugel für die komplexe Zahl $ c $.

Reine und gemischte Zustände

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und bilden zusammen mit der Einheitsmatrix $ E $ eine Basis des Vektorraums der komplexen $ 2 \times 2 $-Matrizen. Die Dichtematrix eines Qubits kann bezüglich einer festen Basis immer als

$ \rho = \frac{1}{2} \left(E + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z \right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+z & x-\mathrm{i}y \\ x+\mathrm{i}y & 1-z\end{pmatrix} $

dargestellt werden. Fasst man $ (x,y,z) \in \R^3 $ als Vektor im $ \R^3 $ auf, dann ist $ \rho $ immer dann positiv semidefinit, also eine zulässige Dichtematrix, wenn $ (x,y,z) $ in der abgeschlossenen Einheitskugel des $ \R^3 $ liegt. Den Vektor $ (x,y,z) $ nennt man den Bloch-Vektor. Der Zustand ist genau dann rein, wenn der Bloch-Vektor die Länge Eins hat, also auf der Kugeloberfläche liegt.

Zwei reine Zustände sind orthogonal, wenn ihre Bloch-Vektoren sich an genau gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel befinden. In der Mitte der Blochkugel liegt der vollständig gemischte Zustand, dessen Blochvektor der Nullvektor ist.

Bildet man eine Mischung aus einem Anteil $ p $ des Zustands mit Bloch-Vektor $ \vec v $ und aus einem Anteil $ 1-p $ des Zustands mit Bloch-Vektor $ \vec w $, dann wird das Gemisch durch den Bloch-Vektor $ p\vec v + (1-p)\vec w $ beschrieben. Man kann also alle Zustände als Konvexkombination reiner Zustände schreiben, und die Bloch-Kugel zeigt auch, dass der Zustandsraum eine konvexe Menge ist, deren Extremalpunkte die reinen Zustände sind.

Geometrische Deutung

Sind $ \left|\uparrow\right\rangle $ und $ \left|\downarrow\right\rangle $ Spinzustände zur Spinquantenzahl 1/2, etwa Parallelstellung und Antiparallelstellung eines Elektrons im Magnetfeld, dann zeigt im Überlagerungszustand der Erwartungswert des (vektoriellen) Spinoperators in die Richtung, die der zugeordnete Punkt auf der Bloch-Kugel andeutet.

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