Wiener-Index

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Der Wiener-Index – benannt nach Harry Wiener[1] – ist der älteste topologische Deskriptor, welcher die Struktur eines Moleküls in einer Zahl abbildet.

Formulierung

$ W=\frac{1}{2} \sum_{i,j}^{N} d_{ij} $

  • W: Wiener-Index
  • N: Anzahl der Nicht-Wasserstoffe-Atome in der Struktur
  • dij: Anzahl der Bindungen auf dem kürzesten Weg zwischen den Atomen i und j

Der Faktor 1/2 besagt, dass jeder Weg nur einmal in den Index eingeht.

Verwendung

Der Wiener-Index wird in den Methoden der Quantitative Struktur-Wirkungs-Beziehung (QSPR) verwendet, um Stoffeigenschaften wie zum Beispiel den Sättigungsdampfdruck mit der Molekülstruktur zu korrelieren. Da der Wiener-Index nicht zwischen verschiedenen Atomen unterscheidet, kann er nur innerhalb einer homologen Reihe sinnvoll verwendet werden.

Beispielrechnung

3-Ethylhexan mit Nummerierung der Kohlenstoffatome

Der Wiener-Index für 3-Ethylhexan ist W=72. Er ergibt als Summe der Abstände

1-2(1), 1-3(2), 1-4(3), 1-5(4), 1-6(5), 1-7(3), 1-8(4),
2-3(1), 2-4(2), 2-5(3), 2-6(4), 2-7(2), 2-8(3),
3-4(1), 3-5(2), 3-6(3), 3-7(1), 3-8(2),
4-5(1), 4-6(2), 4-7(2), 4-8(3),
5-6(1), 5-7(3), 5-8(4),
6-7(4), 6-8(5),
7-8(1)
→ 1+2+3+4+5+3+4   +1+2+3+4+2+3   +1+2+3+1+2   +1+2+2+3   +1+3+4  +4+5   +1 = 72.

Beispielwerte

Stoff Wiener-Index
n-Hexan 35
2-Methylpentan 32
3-Methylpentan 31
2,3-Dimethylbutan 29

An diesen vier Beispielen mit identischer Summenformel (C6H14) wird deutlich, dass der Wiener-Index ohne Verzweigung am höchsten ist und mit zunehmender Verzweigung in der Molekülstruktur kleiner wird; bei gleicher Anzahl von Verzweigungen wird er mit zunehmender Molekülsymetrie kleiner.

Berechnung der Maximalwerte für W

Der für das jeweils unverzweigte Molekül geltende maximale Wiener-Index lässt sich aus der Gesamtzahl der „Nicht-H“-Atome (n) leicht wie folgt errechnen:

Es handelt sich immer um eine Summe von Quadratzahlen:
Ist n gerade, so werden die Quadrate der ungeraden Zahlen zwischen 0 und n summiert.
Ist n ungerade, so werden die Quadrate der geraden Zahlen zwischen 0 und n summiert.

Beispiele für

n =  6:  12 + 32 + 52 = 35
n = 13:  22 + 42 + 62 + 82 + 102 + 122 = 364

Als vereinfachte Berechnungsformel kann man $ n\cdot(n-1)\cdot(n+1)/6 $ verwenden.

Tabelle der Maximalwerte für W

bis n = 21:

n   2     3     4     5     6     7     8     9    10   11  12   13   14   15   16   17   18   19   20   21 
(n-1)n=ungerade   1   3   5   7   9  11  13  15  17   19
(n-1)2   1   9  25  49  81 121 169 225 289  361
Summe= W   1  10  35  84 165 286 455 680 969 1330
(n-1)n=gerade   2   4   6   8  10  12  14  16   18   20
(n-1)2   4  16  36  64 100 144 196 256  324  400
Summe= W   4  20  56 120 220 364 560 816 1140 1540

Literatur

  1. Harry Wiener (1947): Structural determination of paraffin boiling points. J. Am. Chem. Soc., 69, S. 17-20. doi:10.1021/ja01193a005

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