WKB-Näherung


WKB-Näherung

Die semiklassische WKB-Näherung aus der Quantenmechanik, die nach Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Léon Brillouin benannt ist, liefert eine Näherung der Lösung der eindimensionalen, stationären Schrödingergleichung. Die Näherung basiert auf der Annahme, dass sich das Potential V(x) 'langsam' mit der Position ändert und sich daher eine Lösung aus dem konstanten Potential $ V(x)= V_0 $ finden lässt.

Die Lösung der Schrödingergleichung lautet in dieser Näherung

$ \psi(x) = \left( \frac{\mbox{const}}{2m[E-V(x)]} \right)^{1/4} \exp\left(\pm \frac{i}{\hbar} \int \mathrm dx' \sqrt{2m(E-V(x'))}\right). $

Die beiden Vorzeichen stehen für zwei unabhängige Lösungen. Sie sind nur dann eine gute Näherung, wenn sich das Potential über die Ausdehnung einer Wellenlänge nur langsam ändert.

Geschichte

Die Näherung wurde 1926 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander von den Physikern Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Leon Brillouin publiziert, deren Initialen ihr den Namen gaben.

Herleitung

Aus der eindimensionalen stationären Schrödinger-Gleichung

$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V(x) \psi(x)= E\psi(x) $

ergibt sich bei konstantem Potential $ V(x)=V_0 $ als Lösung die ebene Welle

$ \psi(x)= A \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} p_0 x \right) $

mit $ p_0= \sqrt{2m(E-V_0)} $. Bei langsamer Änderung des Potentials, also einem Potential, das in der Größenordnung der deBroglie-Wellenlänge als konstant angesehen werden kann, kann man $ p(x)= \sqrt{2m(E-V(x))} $ annehmen und daraus einen zum Problem mit konstantem Potential analogen Lösungsansatz folgendermaßen wählen.

$ \psi(x)= A \exp \left(\frac{i}{\hbar} S(x) \right) $

Eingesetzt in die Schrödinger-Gleichung erhält man

$ -\frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2S(x)}{dx^2} + \frac 1 {2m} \left[ \frac {dS(x)}{dx}\right]^2 + V(x) -E=0 $

Soweit wurde keine Näherung gemacht. Wir können nun $ S(x) $ folgendermaßen in Potenzen von $ \hbar $ entwickeln $ S(x)= S_0(x) + \hbar S_1(x) + \frac{\hbar^2}{2} S_2(x)+... $

Das setzt man in die Schrödingergleichung ein:

$ -\frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left(S_0(x) + \hbar S_1(x) + ...\right) + \frac 1 {2m} \left[ \frac {d}{dx}\left( S_0(x) + \hbar S_1(x) + ...\right)\right]^2 + V(x) -E=0 $

Nun kann man diese Terme bis zur gewünschten Ordnung berechnen und nach der Potenz von $ \hbar $ sammeln.

Jeder zu einer Potenz von $ \hbar $ zugehörige Term muss dann einzeln verschwinden.

Für die zweite Ordnung lautet die Schrödingergleichung:

$ -\frac{i\hbar}{2m} \left[ \frac{d^2}{dx^2} S_0(x) + \hbar \frac{d^2}{dx^2} S_1(x)\right] + \frac 1 {2m} \left[ \frac {d}{dx} S_0(x) + \hbar \frac {d}{dx} S_1(x) \right]^2 + V(x) -E=0 $

$ \Leftrightarrow \hbar^0 \left[\frac 1 {2m} \left(\frac {dS_0(x)}{dx}\right)^2 +V(x) -E\right] + \hbar^1 \left[-\frac{i}{2m} \frac{d^2S_0(x)}{dx^2}+ \frac {1}{m} \frac{d S_0(x)}{dx} \frac {d S_1(x)}{dx} \right] + \hbar^2 \left[\frac 1 {2m} \left( \frac {dS_1(x)}{dx} \right)^2 - \frac{i}{2m} \frac{d^2S_1(x)}{dx^2} \right] =0 $

Für die Differentialgleichung im Glied nullter Ordnung in $ \hbar $

$ \frac{1}{2m}\left[\frac{dS_0(x)}{dx}\right]^2 + V(x)-E=0 $

findet man eine Lösung durch

$ S_0(x)= \pm \int\sqrt{2m(E-V(x'))}dx' $

und es folgt

$ \psi(x)= A \exp \left( \pm \frac i \hbar \int \sqrt{2m(E-V(x'))}dx'\right). $

Folgerungen für die Transmission durch eine Barriere

Die WKB-Approximation wird benutzt, um nichtrechteckige Barrieren zu nähern. Dazu wird die Barriere in viele dünne rechteckige Teilbarrieren zerlegt.

Für die Tunnelwahrscheinlichkeit $ \left| T \right| ^2 $ durch diese Potentialbarriere werden die einzelnen Tunnelwahrscheinlichkeiten für jedes Segment multipliziert. Damit ergibt sich

$ ln \left| T \right| ^2 \approx -2 \int\limits_{\mathrm {barrier}} \kappa(x) \mathrm dx, $

wobei

$ \kappa(x) = \sqrt{\frac{2m(V(x)-E)}{\hbar^2}}. $

Siehe auch

Referenzen

  • Brillouin, Léon: La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 183, 1926, S. 24–26.
  •  Hendrik Anthony Kramers: Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung. In: Zeitschrift für Physik. Ausgabe 39, Nr. 10, Springer, Berlin / Heidelberg 1926, ISSN 0939-7922, S. 828–840, doi:10.1007/BF01451751.
  • Wentzel, Gregor: Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. In: Zeitschrift für Physik. 38, Nr. 6–7, 1926, S. 518–529. Bibcode: 1926ZPhy...38..518W. doi:10.1007/BF01397171.
  • B.H.Brandsen and C.J.Joachain: Introduction to Quantum Mechanics, Longman Group UK (1989)

Weblinks