Madelunggleichungen


Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ \psi $ durch ihren Betrag $ \rho $ und ihre Phase $ S $ gemäß $ \psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S} $, so erhält man die Madelunggleichungen:

$ \partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0 $

$ \partial_t S +\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V(x)- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} = 0. $

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

$ S $ wird als Wirkung interpretiert, $ \nabla S $ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.