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Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.
Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ \psi $ durch ihren Betrag $ \rho $ und ihre Phase $ S $ gemäß $ \psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S} $, so erhält man die Madelunggleichungen:
$ \partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0 $
$ \partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0. $
Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,
die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).
$ S $ wird als Wirkung interpretiert, $ \nabla S $ als Impuls.
Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.
