Grashof-Zahl

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Die Grashof-Zahl $ Gr $ (nach: Franz Grashof 1826–1893) ist eine dimensionslose Kennzahl in der Strömungslehre. Sie gibt im Wesentlichen das Verhältnis des Auftriebs eines Fluids zur wirkenden Viskositätskraft an.

Sie ist definiert als:

$ Gr={\frac {g\cdot \beta \,({T}_{s}-{T}_{\infty })\,{L}^{3}}{\nu ^{2}}} $

  • $ g $ Fallbeschleunigung (bspw. in SI-Einheiten: ≈ 9,81 m/s²)
  • $ \beta $ Wärmeausdehnungskoeffizient (bspw. in SI-Einheiten: 1/K)
  • $ T_{s} $ Temperatur (bspw. in SI-Einheiten: K)
  • $ T_{\infty } $ Ruhe-Temperatur (bspw. in SI-Einheiten: K)
  • $ L $ Charakteristische Länge (bspw. in SI-Einheiten: m)
  • $ \nu $ kinematische Viskosität (bspw. in SI-Einheiten: m²/s)

Genauer: Sie gibt das Verhältnis der Auftriebskraft zur viskosen Kraft mal dem Verhältnis der Trägheitskraft zur viskosen Kraft in einem Fluid an. Dadurch tritt in der Gleichung die Viskosität im Quadrat auf.

Bei der Umformulierung der Navier-Stokes-Gleichungen in die dimensionslose Form ergibt sich die zur oben angegebenen Definition äquivalente Form

$ Gr={\frac {|\rho -\rho _{0}|}{\rho _{0}}}{\frac {g\cdot L^{3}}{\nu ^{2}}} $

  • $ \rho $ Dichte (bspw. in SI-Einheiten: kg/m³)
  • $ \rho _{0} $ Dichte im ungestörten Fluid

Man kann die Grashof-Zahl auch in eine äquivalente Reynolds-Zahl umrechnen, um anschließend die Formeln der freien Konvektion auf die erzwungene anwenden zu können. Die Umrechnung erfolgt gemäß:

$ Re_{{\ddot {a}}qu}={\sqrt {0{,}4\cdot Gr}} $

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