Einsteinkoeffizienten

Erweiterte Suche

Dargestellt sind die beiden Energieniveaus $ E_{1} $ und $ E_{2} $, sowie die spontane Emission (A) und die induzierte Emission und Absorption (B)

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten zur Berechnung der spontanen und stimulierten (induzierten) Emission und der Absorption verwendet. Sie finden neben der statistischen Physik unter anderem in der Spektroskopie und in der Laserphysik Anwendung. Sie wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt.

Einstein unterscheidet im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse:

  • Durch Absorption eines Photons aus einem elektromagnetischen Feld entsteht ein angeregter Zustand z.B. eines Atoms.
  • Eine n-fach besetzte Mode eines elektromagnetischen Feldes stimuliert die Emission eines weiteren Photons in diese Mode, wobei das Atom vom angeregten in den Grundzustand übergeht. Gleiche Mode bedeutet gleiche Richtung, Frequenz und Phase.
  • Das Atom emittiert spontan – also ohne äußere Einwirkung – ein Photon in eine unbesetzte Mode (im freien Raum heißt das insbesondere: in eine beliebige Richtung).

Wir bezeichnen im Folgenden den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Stärke der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl der Atome im ausgehenden Zustand ($ N_{i} $) ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab. Einstein führte die Koeffizienten B12, B21 und A21 als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass die Stärke der stimulierten Absorption durch $ B_{12}\cdot N_{1}\cdot u $, die Stärke der stimulierten Emission durch $ B_{21}\cdot N_{2}\cdot u $ und die der spontanen Emission durch $ A_{21}\cdot N_{2} $ gegeben ist, mit $ u $ als spektraler Strahlungsdichte.

Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

$ {\frac {dN_{1}}{dt}}=-{\frac {dN_{2}}{dt}}=-N_{1}\cdot B_{12}\cdot u+N_{2}\cdot B_{21}\cdot u+N_{2}\cdot A_{21} $

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null, sodass gilt:

$ {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {B_{12}u}{A_{21}+B_{21}u}} $

Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man jedoch, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:

$ {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}{\frac {e^{-E_{2}/k_{B}T}}{e^{-E_{1}/k_{B}T}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-\Delta E/k_{B}T}\,, $

wobei die $ g_{i} $ die Gewichte der Entartung darstellen. Löst man dies nach der Energiedichte auf, so erhält man:

$ u={\frac {A_{21}}{B_{21}}}{\frac {1}{{\frac {B_{12}}{B_{21}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}\cdot e^{\Delta E/k_{B}T}-1}} $

Aus dem Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

$ g_{1}\cdot B_{12}=g_{2}\cdot B_{21}\qquad B_{21}=A_{21}\cdot {\frac {\lambda ^{3}}{8\pi h}} $

Sind die Zustände nicht entartet, also $ g_{1}=g_{2}=1 $, so ist $ B_{12}=B_{21}=:B $.

Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch den spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt

$ \tau ={\frac {1}{A_{21}}}. $

Der Einsteinkoeffizient A21 ist eine Eigenschaft des Übergangs und stoffspezifisch.

Die Einsteinkoeffizienten sind temperaturunabhängig. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist eine Folge der unterschiedlichen Besetzungswahrscheinlichkeiten N1 und N2 in Abhängigkeit von der Temperatur, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Siehe auch

Literatur

  • A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121-128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)
  • Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, S.59, eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche

Die cosmos-indirekt.de:News der letzten Tage

25.09.2023
Thermodynamik | Optik | Akustik
Licht- und Schallwellen enthüllen negativen Druck
Negativer Druck ist ein seltenes und schwer nachzuweisendes Phänomen in der Physik.
20.09.2023
Sterne | Teleskope | Astrophysik
JWST knipst Überschall-Gasjet eines jungen Sterns
Die sogenannten Herbig-Haro-Objekte (HH) sind leuchtende Gasströme, die das Wachstum von Sternbabies signalisieren.
18.09.2023
Optik | Quantenphysik
Ein linearer Weg zu effizienten Quantentechnologien
Forschende haben gezeigt, dass eine Schlüsselkomponente für viele Verfahren der Quanteninformatik und der Quantenkommunikation mit einer Effizienz ausgeführt werden kann, die jenseits der üblicherweise angenommenen oberen theoretischen Grenze liegt.
17.01.1900
Thermodynamik
Effizientes Training für künstliche Intelligenz
Neuartige physik-basierte selbstlernende Maschinen könnten heutige künstliche neuronale Netze ersetzen und damit Energie sparen.
16.01.1900
Quantencomputer
Daten quantensicher verschlüsseln
Aufgrund ihrer speziellen Funktionsweise wird es für Quantencomputer möglich sein, die derzeit verwendeten Verschlüsselungsmethoden zu knacken, doch ein Wettbewerb der US-Bundesbehörde NIST soll das ändern.
15.01.1900
Teilchenphysik
Schwer fassbaren Neutrinos auf der Spur
Wichtiger Meilenstein im Experiment „Project 8“ zur Messung der Neutrinomasse erreicht.
17.09.2023
Schwarze Löcher
Neues zu supermassereichen binären Schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen
Ein internationales Team unter der Leitung von Silke Britzen vom MPI für Radioastronomie in Bonn hat Blazare untersucht, dabei handelt es sich um akkretierende supermassereiche schwarze Löcher in den Zentren von Galaxien.
14.09.2023
Sterne | Teleskope | Astrophysik
ESO-Teleskope helfen bei der Lösung eines Pulsar-Rätsels
Durch eine bemerkenswerte Beobachtungsreihe, an der zwölf Teleskope sowohl am Erdboden als auch im Weltraum beteiligt waren, darunter drei Standorte der Europäischen Südsternwarte (ESO), haben Astronom*innen das seltsame Verhalten eines Pulsars entschlüsselt, eines sich extrem schnell drehenden toten Sterns.
30.08.2023
Quantenphysik
Verschränkung macht Quantensensoren empfindlicher
Quantenphysik hat die Entwicklung von Sensoren ermöglicht, die die Präzision herkömmlicher Instrumente weit übertreffen.
30.08.2023
Atomphysik | Teilchenphysik
Ein einzelnes Ion als Thermometer
Messungen mit neuem Verfahren zur Bestimmung der Frequenzverschiebung durch thermische Strahlung an der PTB unterstützen eine mögliche Neudefinition der Sekunde durch optische Uhren.